Zauważmy, że funkcja jest rosnąca i do jej wykresu należy punkt

$\left(4,1\right)$  

Stąd

${\log }_{a}4=1$  

$a=4$  

Mamy

$f\left(x\right)={\log }_{4}x$  

$D_f=\left(0,+\infty \right)$  

Zatem rozwiążemy nierówność

$f\left(x\right)<2$

${\log }_{4}x<2$

${\log }_{4}x<{\log }_{2}16$    

Funkcja jest rosnąca, stąd

$x<16$  

Po uwzględnieniu dziedziny

$\underline{x\in \left(0,16\right)}$