a) Oznaczmy:

A - "wylosowano parę skarpetek"

Z szuflady wyjmujemy kolejno dwie skarpetki. Sposobów wyboru jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 12-elementowego.

$N=\frac{12!}{\left(12-2\right)!}=\frac{12!}{10!}=\frac{12\cdot 11\cdot \cancel{10!}}{\cancel{10!}}=12\cdot 11=132$  

Pierwszą skarpetkę można wyjąć spośród wszystkich 12 skarpetek, drugą skarpetką musi być ta do pary.

$n_A=12\cdot 1=12$  

Wobec tego:

$P\left(A\right)=\frac{n_A}{N}=\frac{12}{132}=\frac{1}{11}$  

---

b) Oznaczmy:

B - "wylosowano parę skarpetek"

Z szuflady wyjmujemy kolejno dwie skarpetki. Sposobów wyboru jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 12-elementowego.

$N=\frac{12!}{\left(12-2\right)!}=\frac{12!}{10!}=\frac{12\cdot 11\cdot \cancel{10!}}{\cancel{10!}}=12\cdot 11=132$  

Pierwszą skarpetkę można wyjąć spośród wszystkich 12 skarpetek, a drugą - spośród pozostałych 5 skarpetek w tym samym kolorze.

$n_B=12\cdot 5=60$  

Wobec tego:

$P\left(B\right)=\frac{n_B}{N}=\frac{60}{132}=\frac{5}{11}$  

---

c) Oznaczmy:

C - "wylosowano parę skarpetek"

Z szuflady wyjmujemy kolejno dwie skarpetki. Sposobów wyboru jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 10-elementowego.

$N=\frac{10!}{\left(10-2\right)!}=\frac{10!}{8!}=\frac{10\cdot 9\cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!}}=10\cdot 9=90$  

Biała skarpetka nie ma pary. Należy więc wyjąć kolejno dwie skarpetki czarne. Sposobów wyboru jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 9-elementowego.

$n_C=\frac{9!}{\left(9-2\right)!}=\frac{9\cdot 8\cdot \cancel{7!}}{\cancel{7!}}=9\cdot 8=72$  

Wobec tego:

$P\left(C\right)=\frac{n_C}{N}=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}$  

---

d) Oznaczmy:

D - "wylosowano parę skarpetek"

Z szuflady wyjmujemy kolejno dwie skarpetki. Sposobów wyboru jest tyle, ile 2-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 8-elementowego.

$N=\frac{8!}{\left(8-2\right)!}=\frac{8!}{6!}=\frac{8\cdot 7\cdot \cancel{6!}}{\cancel{6!}}=8\cdot 7=56$  

Mamy trzy przypadki:

1. wylosowano parę białych skarpetek,
2. wylosowano parę czarnych skarpetek,
3. wylosowano parę szarych skarpetek.

Ad 1.

Pierwszą skarpetkę można wyjąć spośród 2 skarpetek białych, drugą skarpetką musi być ta do pary.

Ad 2.

Pierwszą skarpetkę można wyjąć spośród 2 skarpetek czarnych, drugą skarpetką musi być ta do pary.

Ad 3.

Pierwszą skarpetkę można wyjąć spośród 4 skarpetek szarych, drugą - spośród pozostałych 3 skarpetek szarych.

Zatem:

$n_D=2\cdot 1+2\cdot 1+4\cdot 3=2+2+12=16$  

Wobec tego:

$P\left(D\right)=\frac{n_D}{N}=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}$