Długości boków prostokąta oznaczmy przez x i y. 

Długości boków są dowolne więc bez straty ogólności przyjmijmy, że walec powstaje w wyniku obrotu danego prostokąta wzdłuż boku o długości y (rysunek poniżej)

---

Wiadomo, że obwód danego prostokąta jest równy 60 cm, czyli 

$2x+2y=60\mid :2$  

$x+y=30\mid -x$  

$y=30-x$  

---

Długości boków prostokąta muszą być wyrażone liczbami dodatnimi, czyli 

$x>0\wedge y>0$  

$30-x>0$  

$30>x$  

więc 

$\underline{\underline{x\in \left(0,30\right)}}$  

---

Wyznaczamy objętość otrzymanego walca. 

Zauważmy, że zgodnie z oznaczeniami, jego promień podstawy jest równy x a wysokość jest równa y, czyli 

$V=P_p\cdot H=\pi x^2\cdot y=\pi x^2\cdot \left(30-x\right)=30\pi x^2-\pi x^3$  

---

Zapisujemy funkcję f, która zmiennej x przyporządkowuje objętość walca

$f\left(x\right)=30\pi x^2-\pi x^3,x\in \left(0,30\right)$  

Wyznaczymy wartość największą tej funkcji (o ile istnieje).

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w przedziale (0, 30).

Wyznaczamy pochodną tej funkcji:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(30\pi x^2-\pi x^3\right){}^{\prime }=\left(30\pi x^2\right){}^{\prime }-\left(\pi x^3\right){}^{\prime }=60\pi x-3\pi x^2$  

---

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$60\pi x-3\pi x^2=0$  

$3\pi x\left(20-x\right)=0$  

$\underset{\notin \left(0,30\right)}{x=0}\vee 20-x=0$  

$x=20$  

czyli funkcja f ma jeden punkt krytyczny: 20. 

Żeby wyznaczyć największą wartość funkcji f porównujemy liczby 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right),f\left(20\right),\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$  

Mamy

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(30\pi x^2-\pi x^3\right)=0$  
• $f\left(20\right)=30\pi \cdot {20}^2-\pi \cdot {20}^3=12000\pi -8000\pi =4000\pi$  
• $\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {30}^{-}}{\lim }\left(30\pi x^2-\pi x^3\right)=\left[30\pi \cdot {30}^2-\pi \cdot {30}^3\right]=0$  

Zatem funkcja f przyjmuje wartość największą dla argumentu 20 równą 4000𝜋.

Dla x = 20 mamy 

$y=30-x=30-20=10$  

czyli prostokąt powinien mieć boki długości 20 cm i 10 cm. 

---

Odp. 20 cm i 10 cm.