Rozważamy prostopadłościenne otwarte skrzynki o kwadratowym dnie i objętości 1m³.

Wprowadźmy oznaczenia:

x- długość krawędzi podstawy skrzynki (w metrach);

H- długość wysokości skrzynki (w metrach). 

Wiadomo, że objętość skrzynki ma być równa 1m³, czyli 

$x^2\cdot H=1\Rightarrow H=\frac{1}{x^2}$  

Długości krawędzi skrzynki muszą być wyrażone liczbami dodatnimi, czyli 

$\underline{\underline{x>0}}$  

Wyznaczamy pole powierzchni podstawy i pole powierzchni bocznej tego prostopadłościanu 

$P_p=x^2\left[{\text{m}}^2\right]$  

$P_b=4xH=4\cdot x\cdot \frac{1}{x^2}=\frac{4}{x}\left[{\text{m}}^2\right]$  

---

a)

Wiadomo, że 1m² materiału z którego robi się dno kosztuje 3 zł, a 1m² materiału z którego wykonuje się ścianki kosztuje 2 zł. 

Zapisujemy funkcję f, która zmiennej x przyporządkowuje łączny koszt materiałów z których wykonano skrzynię. 

Mamy 

$f\left(x\right)=x^2\cdot 3+\frac{4}{x}\cdot 2=3x^2+\frac{8}{x},x>0$  

Wyznaczymy wartość najmniejszą tej funkcji (o ile istnieje).

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w przedziale (0,+oo).

Wyznaczamy pochodną tej funkcji:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(3x^2+\frac{8}{x}\right){}^{\prime }=\left(3x^2\right){}^{\prime }+\left(\frac{8}{x}\right){}^{\prime }=6x-\frac{8}{x^2},x\in \left(0,+\infty \right)$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$6x-\frac{8}{x^2}=0\mid \cdot x^2$  

$6x^3-8=0$  

$x^3=\frac{4}{3}$

$x=\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$   

Żeby wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f porównujemy liczby 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right),f\left(\sqrt[3]{\frac{4}{3}}\right),\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$  

Mamy 

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(3x^2+\frac{8}{x}\right)=\left[0+\infty \right]=+\infty$  
• $f\left(\sqrt[3]{\frac{4}{3}}\right)=3\cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{4}{3}}\right)}^2+\frac{8}{\sqrt[3]{\frac{4}{3}}}\approx 11$  
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x^2+\frac{8}{x}\right)=\left[+\infty +0\right]=+\infty$  

zatem funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla 

$x=\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$  

czyli wówczas 

$H=\frac{1}{x^2}=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\frac{4}{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt[3]{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}=\frac{3\sqrt[3]{\frac{4}{3}}}{4}=\frac{\sqrt[3]{27\cdot \frac{4}{3}}}{4}=\frac{\sqrt[3]{36}}{4}\approx 0,83$  

czyli krawędź podstawy skrzyni ma długość 

$\sqrt[3]{\frac{4}{3}}\approx 1,1\left[\text{m}\right]$  

a wysokość 

$\frac{\sqrt[3]{36}}{4}\approx 0,83\left[\text{m}\right]$  

---

b)

Wiadomo, że 1m² materiału z którego robi się dno kosztuje 5 zł, a 1m² materiału z którego wykonuje się ścianki kosztuje 2 zł. 

Zapisujemy funkcję f, która zmiennej x przyporządkowuje łączny koszt materiałów z których wykonano skrzynię. 

Mamy 

$f\left(x\right)=x^2\cdot 5+\frac{4}{x}\cdot 2=5x^2+\frac{8}{x},x>0$  

Wyznaczymy wartość najmniejszą tej funkcji (o ile istnieje).

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w przedziale (0,+oo).

Wyznaczamy pochodną tej funkcji:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(5x^2+\frac{8}{x}\right){}^{\prime }=\left(5x^2\right){}^{\prime }+\left(\frac{8}{x}\right){}^{\prime }=10x-\frac{8}{x^2},x\in \left(0,+\infty \right)$  

Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0$  

$10x-\frac{8}{x^2}=0\mid \cdot x^2$  

$10x^3-8=0$  

$x^3=\frac{4}{5}$

$x=\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$   

Żeby wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji f porównujemy liczby 

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right),f\left(\sqrt[3]{\frac{4}{5}}\right),\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$  

Mamy 

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(5x^2+\frac{8}{x}\right)=\left[0+\infty \right]=+\infty$  
• $f\left(\sqrt[3]{\frac{4}{5}}\right)=5\cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{4}{5}}\right)}^2+\frac{8}{\sqrt[3]{\frac{4}{5}}}\approx 13$  
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(5x^2+\frac{8}{x}\right)=\left[+\infty +0\right]=+\infty$  

zatem funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą dla 

$x=\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$  

czyli wówczas 

$H=\frac{1}{x^2}=\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{\frac{4}{5}}\right)}^2}=\frac{\sqrt[3]{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt[3]{\frac{4}{5}}}{4}=\frac{\sqrt[3]{125\cdot \frac{4}{5}}}{4}=\frac{\sqrt[3]{100}}{4}\approx 1,16$  

czyli krawędź podstawy skrzyni ma długość 

$\sqrt[3]{\frac{4}{5}}\approx 0,93\left[\text{m}\right]$  

a wysokość 

$\frac{\sqrt[3]{100}}{4}\approx 1,16\left[\text{m}\right]$  

---

c)

Wiadomo, że 1m² materiału z którego robi się dno kosztuje 3 zł, a 1m² materiału z którego wykonuje się ścianki kosztuje 2 zł. 

Zapisujemy funkcję f, która zmiennej x przyporządkowuje łączny koszt materiałów z których wykonano skrzynię.

Tym razem doliczamy wieko ale w cenie ścianek bocznych. 

Mamy 

$f\left(x\right)=x^2\cdot 3+\frac{4}{x}\cdot 2+\underset{=\text{wieko}}{\underbrace{x^2\cdot 2}}=5x^2+\frac{8}{x},x>0$  

Zauważmy, że wartość najmniejszą tej funkcji wyznaczyliśmy już w podpunkcie b).

Zatem krawędź podstawy skrzyni ma długość 

$\sqrt[3]{\frac{4}{5}}\approx 0,93\left[\text{m}\right]$  

a wysokość 

$\frac{\sqrt[3]{100}}{4}\approx 1,16\left[\text{m}\right]$