$f\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

$D_f=\mathbb{R}$  

Obliczamy pochodną tej funkcji. 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left(a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0\right){}^{\prime }=n{a}_n{x}^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}{x}^{n-2}+\dots +a_1$  

Dziedziną pochodnej funkcji f również jest zbiór liczb rzeczywistych. 

$D_{f{}^{\prime }}=\mathbb{R}$  

Równanie f'(x)=0 jest równaniem wielomianowym stopnia n-1.

$n{a}_n{x}^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}{x}^{n-2}+\dots +a_1=0$  

Przypomnijmy, że każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków. Oznacza to, że powyższe równanie ma co najwyżej n-1 pierwiastków.

Zatem funkcja f ma co najwyżej n-1 ekstremów.