Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczności ...- Zadanie 7: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) $f (x) = x + \frac{1}{x ^{2}}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 0.

$D_{f} = R \ {0}$

Obliczamy pochodną tej funkcji.

$f^{'} (x) = (x + \frac{1}{x ^{2}})^{'} = (x)^{'} + (\frac{1}{x ^{2}})^{'} = 1 + (x^{- 2})^{'} = 1 + (- 2 x^{- 3}) = 1 - \frac{2}{x ^{3}} = - \frac{2}{x ^{3}} + 1$

Dziedziną pochodnej funkcji f również jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 0.

$D_{f^{'}} = R \ {0}$

Aby określić monotoniczność funkcji, badamy, jak zmienia się znak jej pochodnej.

Najpierw ustalamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{'} (x) = 0$

$- \frac{2}{x ^{3}} + 1 = 0 ∣ + \frac{2}{x ^{3}}$

$1 = \frac{2}{x ^{3}}$

$x^{3} = 2$

$x = 32$

Szkicujemy przybliżony wykres funkcji f'.

Strzałki symbolizują monotoniczność funkcji f.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$f^{'} (x) > 0, gdy x \in (- \infty; 0) \cup (32; + \infty)$

$f^{'} (x) < 0, gdy x \in (0; 32)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R\{0}, więc jest rosnąca w przedziałach

$(- \infty; 0), ⟨ 32; + \infty)$

i jest malejąca w przedziale

$(0; 32 ⟩ .$

b) $f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb -1 oraz 1.

$D_{f} = R \ {- 1, 1}$

Obliczamy pochodną tej funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1})^{'} = \frac{( x ^{2} ) ^{'} ( x ^{2} - 1 ) - x ^{2} ( x ^{2} - 1 ) ^{'}}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ( x ^{2} - 1 ) - x ^{2} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{3} - 2 x - 2 x ^{3}}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{- 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}$

Dziedziną pochodnej funkcji f również jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb -1 oraz 1.

$D_{f^{'}} = R \ {- 1, 1}$

Aby określić monotoniczność funkcji, badamy, jak zmienia się znak jej pochodnej.

Najpierw ustalamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{'} (x) = 0$

$\frac{- 2 x}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}} = 0$

$- 2 x = 0 ∣ : (- 2)$

$x = 0$

Mianownik pochodnej ma zawsze wartość dodatnią, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak licznika. Zatem wystarczy naszkicować wykres zmiany znaku wartości funkcji z licznika.

Strzałki symbolizują monotoniczność funkcji f.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$f^{'} (x) > 0, gdy x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 0)$

$f^{'} (x) < 0, gdy x \in (0; 1) \cup (1; + \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R\{-1, 1}, więc jest rosnąca w przedziałach

$(- \infty; - 1), (- 1; 0 ⟩$

i jest malejąca w przedziałach

$⟨ 0; 1), (1; + \infty) .$

c) $f (x) = \frac{x - 3}{x ^{2} + 7}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

$D_{f} = R$

Obliczamy pochodną tej funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{x - 3}{x ^{2} + 7})^{'} = \frac{( x - 3 ) ^{'} ( x ^{2} + 7 ) - ( x - 3 ) ( x ^{2} + 7 ) ^{'}}{( x ^{2} + 7 ) ^{2}} = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 7 ) - ( x - 3 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 7 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 7 - ( 2 x ^{2} - 6 x )}{( x ^{2} + 7 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 7 - 2 x ^{2} + 6 x}{( x ^{2} + 7 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} + 6 x + 7}{( x ^{2} + 7 ) ^{2}}$

Dziedziną pochodnej funkcji f również jest zbiór liczb rzeczywistych.

$D_{f^{'}} = R$

Aby określić monotoniczność funkcji, badamy, jak zmienia się znak jej pochodnej.

Najpierw ustalamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{'} (x) = 0$

$\frac{- x ^{2} + 6 x + 7}{( x ^{2} + 7 ) ^{2}} = 0$

$- x^{2} + 6 x + 7 = 0$

$- (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

$- (x^{2} + x - 7 x - 7) = 0$

$- [x (x + 1) - 7 (+ 1)] = 0$

$- (x + 1) (x - 7) = 0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x + 1 = 0 lub x - 7 = 0$

$x = - 1 lub x = 7$

Mianownik pochodnej ma zawsze wartość dodatnią, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak licznika. Zatem wystarczy naszkicować wykres zmiany znaku wartości funkcji z licznika.

Strzałki symbolizują monotoniczność funkcji f.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$f^{'} (x) > 0, gdy x \in (- 1; 7)$

$f^{'} (x) < 0, gdy x \in (- \infty; - 1) \cup (7; + \infty)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R, więc jest rosnąca w przedziale

$⟨ - 1; 7 ⟩$

i jest malejąca w przedziałach

$(- \infty; - 1 ⟩, ⟨ 7; + \infty) .$

d) $f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby -1.

$D_{f} = R \ {- 1}$

Obliczamy pochodną tej funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 2 x + 1})^{'} = \frac{( x ^{2} ) ^{'} ( x ^{2} + 2 x + 1 ) - x ^{2} ( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{'}}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ( x ^{2} + 2 x + 1 ) - x ^{2} ( 2 x + 2 )}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{3} + 4 x ^{2} + 2 x - ( 2 x ^{3} + 2 x ^{2} )}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{3} + 4 x ^{2} + 2 x - 2 x ^{3} - 2 x ^{2}}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}}$

Dziedziną pochodnej funkcji f również jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby -1.

$D_{f^{'}} = R \ {- 1}$

Aby określić monotoniczność funkcji, badamy, jak zmienia się znak jej pochodnej.

Najpierw ustalamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{'} (x) = 0$

$\frac{2 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} + 2 x + 1 ) ^{2}} = 0$

$2 x^{2} + 2 x = 0$

$2 x (x + 1) = 0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$2 x = 0 lub x + 1 = 0$

$x = 0 lub x = - 1$

Mianownik pochodnej ma zawsze wartość dodatnią, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak licznika. Zatem wystarczy naszkicować wykres zmiany znaku wartości funkcji z licznika.

Strzałki symbolizują monotoniczność funkcji f.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$f^{'} (x) > 0, gdy x \in (- \infty; - 1) \cup (0; + \infty)$

$f^{'} (x) < 0, gdy x \in (- 1; 0)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R\{-1}, więc jest rosnąca w przedziałach

$(- \infty; - 1), ⟨ 0; + \infty)$

i jest malejąca w przedziale

$(- 1; 0 ⟩ .$

e) $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 5}{x ^{2} + 1}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.

$D_{f} = R$

Obliczamy pochodną tej funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{3 x ^{2} - 5}{x ^{2} + 1})^{'} = \frac{( 3 x ^{2} - 5 ) ^{'} ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x ^{2} - 5 ) ( x ^{2} + 1 ) ^{'}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{6 x ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x ^{2} - 5 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{3} + 6 x - ( 6 x ^{3} - 10 x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{3} + 6 x - 6 x ^{3} + 10 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{16 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

Dziedziną pochodnej funkcji f również jest zbiór liczb rzeczywistych.

$D_{f^{'}} = R$

Aby określić monotoniczność funkcji, badamy, jak zmienia się znak jej pochodnej.

Najpierw ustalamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{'} (x) = 0$

$\frac{16 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = 0$

$16 x = 0 ∣ : 16$

$x = 0$

Mianownik pochodnej ma zawsze wartość dodatnią, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak licznika. Zatem wystarczy naszkicować wykres zmiany znaku wartości funkcji z licznika.

Strzałki symbolizują monotoniczność funkcji f.

Z wykresu odczytujemy rozwiązania nierówności.

$f^{'} (x) > 0, gdy x \in (0; + \infty)$

$f^{'} (x) < 0, gdy x \in (- \infty; 0)$

Funkcja f jest ciągła w zbiorze R, więc jest rosnąca w przedziale

$⟨ 0; + \infty)$

i jest malejąca w przedziale

$(- \infty; 0 ⟩ .$

f) $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 6}{x - 2}$

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 2.

$D_{f} = R \ {2}$

Obliczamy pochodną tej funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{2 x ^{2} - 6}{x - 2})^{'} = \frac{( 2 x ^{2} - 6 ) ^{'} ( x - 2 ) - \frac{2 x ^{2} - 6}{x - 2} ^{'}}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{4 x ( x - 2 ) - ( 2 x ^{2} - 6 ) \cdot 1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{2} - 8 x - 2 x ^{2} + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 8 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}}$

Dziedziną pochodnej funkcji f również jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 2.

$D_{f^{'}} = R \ {2}$

Aby określić monotoniczność funkcji, badamy, jak zmienia się znak jej pochodnej.

Najpierw ustalamy miejsca zerowe pochodnej.

$f^{'} (x) = 0$

$\frac{2 x ^{2} - 8 x + 6}{( x - 2 ) ^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$

$2 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

$2 (x^{2} - x - 3 x + 3) = 0$

$2 [x (x - 1) - 3 (x - 1)] = 0$

$2 (x - 1) (x - 3) = 0$

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeżeli co najmniej jedna z tych liczb jest równa 0.

$x - 1 = 0 lub x - 3 = 0$

$x = 1 lub x = 3$

Mianownik pochodnej ma zawsze wartość dodatnią, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak licznika. Zatem wystarczy naszkicować wykres zmiany znaku wartości funkcji z licznika.