Oblicz pochodną funkcji. ...- Zadanie 7: Matematyka z plusem 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Obliczamy pochodną danej funkcji. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{2 x - 7}{3 x + 1})^{'} = \frac{( 2 x - 7 ) ^{'} ( 3 x + 1 ) - ( 2 x - 7 ) ( 3 x + 1 ) ^{'}}{( 3 x + 1 ) ^{2}} = \frac{( 2 - 0 ) \cdot ( 3 x + 1 ) - ( 2 x - 7 ) \cdot ( 3 + 0 )}{( 3 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 \cdot ( 3 x + 1 ) - ( 2 x - 7 ) \cdot 3}{( 3 x + 1 ) ^{2}} = \frac{6 x + 2 - ( 6 x - 21 )}{( 3 x + 1 ) ^{2}} = \frac{6 x + 2 - 6 x + 21}{( 3 x + 1 ) ^{2}} = \frac{23}{( 3 x + 1 ) ^{2}}$

b) Obliczamy pochodną danej funkcji. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{1 - x}{x + 1})^{'} = \frac{( 1 - x ) ^{'} ( x + 1 ) - ( 1 - x ) ( x + 1 ) ^{'}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{( 0 - 1 ) \cdot ( x + 1 ) - ( 1 - x ) \cdot ( 1 + 0 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{( - 1 ) \cdot ( x + 1 ) - ( 1 - x ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{- ( x + 1 ) - ( 1 - x )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{- x - 1 - 1 + x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{- 2}{( x + 1 ) ^{2}}$

c) Obliczamy pochodną danej funkcji. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{x ^{2} - 1}{x + 2})^{'} = \frac{( x ^{2} - 1 ) ^{'} ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 1 ) ( x + 2 ) ^{'}}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{( 2 x - 0 ) \cdot ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 1 ) \cdot ( 1 + 0 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{2 x \cdot ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 1 ) \cdot 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 4 x - x ^{2} + 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 4 x + 1}{( x + 2 ) ^{2}}$

d) Obliczamy pochodną danej funkcji. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu funkcji.

$f^{'} (x) = (\frac{x ^{3} + x}{2 x ^{2} - 1})^{'} = \frac{( x ^{3} + x ) ^{'} ( 2 x ^{2} - 1 ) - ( x ^{3} + x ) ( 2 x ^{2} - 1 ) ^{'}}{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{( 3 x ^{2} + 1 ) ( 2 x ^{2} - 1 ) - ( x ^{3} + x ) \cdot ( 4 x - 0 )}{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{4} - 3 x ^{2} + 2 x ^{2} - 1 - ( x ^{3} + x ) \cdot 4 x}{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{4} - x ^{2} - 1 - ( 4 x ^{4} + 4 x ^{2} )}{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{6 x ^{4} - x ^{2} - 1 - 4 x ^{4} - 4 x ^{2}}{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{4} - 5 x ^{2} - 1}{( 2 x ^{2} - 1 ) ^{2}}$