a) Przyjmijmy, że:

$f\left(x\right)=x^3-2x^2+2$  

Obliczamy wartość funkcji f dla liczb -2 i 0 (wybieramy dowolne dwie liczby, dla których wartości danego wyrażenia będą miały różne znaki).

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^3-2\cdot {\left(-2\right)}^2+2=-8-2\cdot 4+2=-8-8+2=-14$   

$f\left(0\right)=0^3-2\cdot 0^2+2=0-2\cdot 0+2=2$   

Zauważmy, że: 

$f\left(-2\right)<0\text{oraz}f\left(0\right)>0$  

Z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba x₀ należąca do przedziału (-2; 0), taka że f(x₀)=0.

$x_0\approx -1$  

Liczba x₀ nie różni się od -1 o więcej niż 1.

Obliczamy wartość funkcji f dla liczby -1. 

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-2\cdot {\left(-1\right)}^2+2=-1-2\cdot 1+2=-1-2+2=-1$   

Zauważmy, że:

$f\left(-1\right)<0\text{oraz}f\left(0\right)>0$  

Z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba x₀ należąca do przedziału (-1;0), taka że f(x₀)=0.

$x_0\approx -0,5$  

Liczba x₀ nie różni się od -0,5 o więcej niż 0,5.

Obliczamy wartość funkcji f dla liczby -0,5. 

$f\left(-0,5\right)={\left(-0,5\right)}^3-2\cdot {\left(0,5\right)}^2+2=-0,125-2\cdot 0,25+2=-0,125+0,5+2=2,375$   

Zauważmy, że:

$f\left(-1\right)<0\text{oraz}f\left(-0,5\right)>0$  

Z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba x₀ należąca do przedziału (-1; -0,5), taka że f(x₀)=0.

$x_0\approx -0,75$  

Liczba x₀ nie różni się od -0,75 o więcej niż 0,25.

---

b) Przyjmijmy, że:

$f\left(x\right)=x^5+x-5$  

Obliczamy wartość funkcji f dla liczb 0 i 2 (wybieramy dowolne dwie liczby, dla których wartości danego wyrażenia będą miały różne znaki).

$f\left(0\right)=0^5+0-5=-5$   

$f\left(2\right)=2^5+2-5=32+2-5=29$   

Zauważmy, że:

$f\left(0\right)<0\text{oraz}f\left(2\right)>0$  

Z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba x₀ należąca do przedziału (0; 2), taka że f(x₀)=0.

$x_0\approx 1$  

Liczba x₀ nie różni się od 1 o więcej niż 1.

Obliczamy wartość funkcji f dla liczby 1. 

$f\left(1\right)=1^5+1-5=1+1-5=-3$   

Zauważmy, że:

$f\left(1\right)<0\text{oraz}f\left(2\right)>0$  

Z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba x₀ należąca do przedziału (1; 2), taka że f(x₀)=0.

$x_0\approx 1,5$  

Liczba x₀ nie różni się od 1,5 o więcej niż 0,5.

Obliczamy wartość funkcji f dla liczby 1,5. 

$f\left(1,5\right)={\left(1,5\right)}^5+1,5-5=7,59375+1,5-5=4,09375$   

Zauważmy, że:

$f\left(1\right)<0\text{oraz}f\left(1,5\right)>0$  

Z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba x₀ należąca do przedziału (1; 1,5), taka że f(x₀)=0.

$x_0\approx 1,25$  

Liczba x₀ nie różni się od 1,25 o więcej niż 0,25.

Obliczamy wartość funkcji f dla liczby 1,25. 

$f\left(1,25\right)={\left(1,5\right)}^5+1,25-5=3.0517578125+1,25-5=-0,6982421875$   

Zauważmy, że:

$f\left(1,25\right)<0\text{oraz}f\left(1,5\right)>0$  

Z twierdzenia Darboux wynika, że istnieje liczba x₀ należąca do przedziału (1,25; 1,5), taka że f(x₀)=0.

$x_0\approx 1,375$  

Liczba x₀ nie różni się od 1,375 o więcej niż 0,125.