a) Równania danych prostych zapiszmy w postaci kierunkowej. 

$\left(1\right)A_{1}x+B_{1}y+C_1=0\mid -A_{1}x$  

$B_{1}y+C_1=-A_{1}x\mid -C_1$  

$B_{1}y=-A_{1}x-C_1\mid :B_1$  

$y=-\frac{A_1}{B_1}x-\frac{C_1}{B_1}$  

$\left(2\right)A_{2}x+B_{2}y+C_2=0\mid -A_{2}x$  

$B_{2}y+C_2=-A_{2}x\mid -C_2$  

$B_{2}y=-A_{2}x-C_2\mid :B_2$  

$y=-\frac{A_2}{B_2}x-\frac{C_2}{B_2}$  

Współczynniki kierunkowe prostych równoległych są takie same, więc:

$-\frac{A_1}{B_1}=-\frac{A_2}{B_2}$  

$\frac{A_1}{B_1}=\frac{A_2}{B_2}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$A_1{B}_2=A_2{B}_1$  

Co należało dowieść.

---

b) Równania danych prostych zapiszmy w postaci kierunkowej.

$\left(1\right)A_{1}x+B_{1}y+C_1=0\mid -A_{1}x$  

$B_{1}y+C_1=-A_{1}x\mid -C_1$  

$B_{1}y=-A_{1}x-C_1\mid :B_1$  

$y=-\frac{A_1}{B_1}x-\frac{C_1}{B_1}$  

$\left(2\right)A_{2}x+B_{2}y+C_2=0\mid -A_{2}x$  

$B_{2}y+C_2=-A_{2}x\mid -C_2$  

$B_{2}y=-A_{2}x-C_2\mid :B_2$  

$y=-\frac{A_2}{B_2}x-\frac{C_2}{B_2}$  

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1, więc:

$-\frac{A_1}{B_1}\cdot \left(-\frac{A_2}{B_2}\right)=-1$  

$\frac{A_1}{B_1}\cdot \frac{A_2}{B_2}=-1$  

$\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}=-1\mid \cdot B_1{B}_2$  

$A_1{A}_2=-B_1{B}_2$  

Co należało dowieść.