Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni czaszy (takiej jak na rysunku), można obliczyć ze wzoru 

$P=2\pi Rh$   

---

Objętość V wycinka kuli otrzymamy mnożąc pole powierzchni czaszy przez ¹/₃ długości promienia R kuli, czyli zgodnie z oznaczeniami możemy zapisać 

$V=P\cdot \frac{1}{3}R=2\pi Rh\cdot \frac{1}{3}R=\frac{2}{3}\pi R^{2}h$   

---

Zauważmy, że skoro wycinek kuli jest ograniczony czaszą i powierzchnią boczną stożka o wierzchołku w środku kuli to objętość wycinka kuli jest równa sumie objętości czaszy V_CZ i objętości stożka V_S, czyli możemy zapisać 

$V=V_{CZ}+V_S$   

skąd mamy 

$V_{CZ}=V-V_S$  

zatem żeby wyliczyć objętość czaszy, musimy wyznaczyć objętość stożka. 

---

Przyjrzyjmy się rysunkowi 

Wysokość stożka ma długość R-h, a jego tworząca jest równa R. Oznaczmy przez r długość promienia podstawy stożka. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, dostajemy 

${\left(R-h\right)}^2+r^2=R^2$  

$R^2-2Rh+h^2+r^2=R^2$  

${\mathbf{r}}^2=2\mathbf{R}\mathbf{h}-{\mathbf{h}}^2$  

Obliczamy objętość tego stożka 

$V_S=\frac{1}{3}\cdot \pi {\mathbf{r}}^2\cdot \left(R-h\right)=\frac{1}{3}\pi \cdot \left(2\mathbf{R}\mathbf{h}-{\mathbf{h}}^2\right)\cdot \left(R-h\right)=$  

$=\frac{1}{3}\pi \left(2R^{2}h-2R{h}^2-R{h}^2+h^3\right)=$  

$=\frac{1}{3}\pi \left(2R^{2}h-3R{h}^2+h^3\right)=$  

$=\frac{2}{3}\pi R^{2}h-\pi R{h}^2+\frac{1}{3}\pi h^3$  

---

Obliczamy objętość czaszy 

$V_{CZ}=V-V_S=\frac{2}{3}\pi R^{2}h-\left(\frac{2}{3}\pi R^{2}h-\pi R{h}^2+\frac{1}{3}\pi h^3\right)=$  

$=\pi R{h}^2-\frac{1}{3}\pi h^3=\pi h^2\left(R-\frac{1}{3}h\right)$  

czyli objętość czaszy można obliczyć ze wzoru 

$\underline{\underline{V_{CZ}=\pi h^2\left(R-\frac{1}{3}h\right)}}$  

co należało dowieść.