a)

1.   Obliczamy ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest mniejsza od 3. 

Liczbę a możemy wybrać na 2 sposoby (spośród liczb 1,2), liczbę b możemy wybrać na 10 sposobów (spośród liczb 1,2,3, ..., 10). 

Zatem łącznie mamy 2 ∙ 10 = 20 możliwości. 

2.   Obliczamy ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba b jest większa od 7. 

Liczbę a możemy wybrać na 10 sposobów (spośród liczb 1,2,3,...,10), liczbę b możemy wybrać na 3 sposoby (spośród liczb 8,9,10). 

Zatem łącznie mamy 10 ∙ 3 = 30 możliwości. 

Zauważmy, że pary takie, że liczba a jest mniejsza od 3 i liczba b jest większa od 7, czyli

(1,8), (1,9), (1,10), (2,8), (2,9), (2,10)

zostały uwzględnione w obu powyższych przypadkach (policzyliśmy je podwójnie).

Zatem par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest mniejsza od 3 lub liczba b jest większa od 7, jest łącznie

$20+30-6=44$  

---

b)

Zauważmy, że aby obliczyć ile jest wszystkich par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest większa od b lub liczb b jest większa od liczby a, wystarczy od liczby wszystkich możliwych par (a, b) odjąć liczbę par,
w których a = b. 

1.   Obliczamy ile jest wszystkich par uporządkowanych (a, b).

Każdą z liczb a i b możemy wybrać na 10 sposobów (spośród liczb 1,2,3,...,10). 

Zatem łącznie mamy 10 ∙ 10 = 100 możliwości. 

2.   Wszystkich par (a, b), których współrzędne są równe, czyli

(1,1), (2,2), (3,3), ..., (10,10)

jest łącznie 10. 

Zatem par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest większa od b lub liczb b jest większa od liczby a jest 

$100-10=90$  

---

c)

Obliczamy ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest nie mniejsza niż 4 i jednocześnie liczba b jest podzielna przez 3 lub przez 5. 

Liczbę a możemy wybrać na 7 sposobów (spośród liczb 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), liczbę b możemy wybrać na 5 sposobów (spośród liczb 3, 5, 6, 9, 10). 

Zatem łącznie mamy 7 ∙ 5 = 35 możliwości.

---

d)

1.   Obliczamy ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest liczbą pierwszą. 

Liczbę a możemy wybrać na 4 sposoby (spośród liczb 2,3,5,7), liczbę b możemy wybrać na 10 sposobów (spośród liczb 1,2,3, ..., 10). 

Zatem łącznie mamy 4 ∙ 10 = 40 możliwości. 

2.   Obliczamy ile jest par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba b jest nie większa niż 6. 

Liczbę a możemy wybrać na 10 sposobów (spośród liczb 1,2,3,...,10), liczbę b możemy wybrać na 6 sposobów (spośród liczb 1,2,3, ..., 6). 

Zatem łącznie mamy 10 ∙ 6 = 60 możliwości. 

Zauważmy, że pary takie, że liczba a jest liczbą pierwszą i liczba b jest nie większa niż 6, zostały uwzględnione w obu powyższych przypadkach (policzyliśmy je podwójnie). Obliczamy ile jest takich par. Liczbę a możemy wybrać na 4 sposoby (spośród liczb 2,3,5,7),  liczbę b możemy wybrać na 6 sposobów (spośród liczb 1,2,3, ..., 6). Łącznie mamy 4 ∙ 6 = 24 możliwości. 

Zatem par uporządkowanych (a, b) takich, że liczba a jest liczbą pierwszą lub liczba b jest nie większa niż 6 jest

$40+60-24=76$