Oblicz dane granice...- Zadanie 2.200: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie (o trzech ciągach)

Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone (a_n), (b_n), (c_n),

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = g$

oraz istnieje taka liczba 𝜹, że dla każdej liczby naturalnej n większej od 𝜹 prawdziwa jest nierówność

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}, to n \to \infty lim b_{n} = g$

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność

$- 1 \leq sin n \leq 1 ∣ : (n + 2) > 0$

$\frac{- 1}{n + 2} \leq \frac{sin n}{n + 2} \leq \frac{1}{n + 2}$

Niech

$a_{n} = \frac{- 1}{n + 2}$

$b_{n} = \frac{sin n}{n + 2}$

$c_{n} = \frac{1}{n + 2}$

otrzymujemy, że

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{- 1}{n + 2} = n \to \infty lim \frac{n \cdot \frac{- 1}{n}}{n ( 1 + \frac{2}{n} )} = n \to \infty lim \frac{\frac{- 1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

$n \to \infty lim c_{n} = n \to \infty lim \frac{1}{n + 2} = n \to \infty lim \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{n ( 1 + \frac{2}{n} )} = n \to \infty lim \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

czyli

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 0$

oraz

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że

$n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim \frac{sin n}{n + 2} = 0$

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność

$- 1 \leq sin (n + 3) \leq 1$

skąd mamy

$- 1 \leq sin (n + 3) \leq 1 ∣ \cdot \frac{n}{( 3 n - 1 ) ^{2}} > 0$

$\frac{- n}{( 3 n - 1 ) ^{2}} \leq \frac{n sin ( n + 3 )}{( 3 n - 1 ) ^{2}} \leq \frac{n}{( 3 n - 1 ) ^{2}}$

Niech

$a_{n} = \frac{- n}{( 3 n - 1 ) ^{2}}$

$b_{n} = \frac{n sin ( n + 3 )}{( 3 n - 1 ) ^{2}}$

$c_{n} = \frac{n}{( 3 n - 1 ) ^{2}}$

otrzymujemy, że

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{- n}{( 3 n - 1 ) ^{2}} = n \to \infty lim \frac{- n}{9 n ^{2} - 6 n + 1} = n \to \infty lim \frac{n ^{2} \cdot \frac{- 1}{n}}{n ^{2} ( 9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n ^{2}} )} =$

$= n \to \infty lim \frac{n ^{2} \cdot \frac{- 1}{n}}{n ^{2} ( 9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n ^{2}} )} = n \to \infty lim \frac{\frac{- 1}{n}}{9 - \frac{6}{n} + \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{0}{9 - 0 + 0} = 0$

Analogicznie dostajemy, że

$n \to \infty lim c_{n} = n \to \infty lim \frac{n}{( 3 n - 1 ) ^{2}} = 0$

czyli

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 0$

oraz

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że

$n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim \frac{n sin ( n + 3 )}{( 3 n - 1 ) ^{2}} = 0$

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność

$- 1 \leq cos (n^{2} + n) \leq 1$

skąd mamy

$- 1 \leq cos (n^{2} + n) \leq 1 ∣ : (5 n + 1)$

$\frac{- 1}{5 n + 1} \leq \frac{cos ( n ^{2} + n )}{5 n + 1} \leq \frac{1}{5 n + 1}$

Niech

$a_{n} = \frac{- 1}{5 n + 1}$

$b_{n} = \frac{cos ( n ^{2} + n )}{5 n + 1}$

$c_{n} = \frac{1}{5 n + 1}$

otrzymujemy, że

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{- 1}{5 n + 1} = n \to \infty lim \frac{n \cdot \frac{- 1}{n}}{n ( 5 + \frac{1}{n} )} = n \to \infty lim \frac{\frac{- 1}{n}}{5 + \frac{1}{n}} = \frac{0}{5 + 0} = 0$

Analogicznie dostajemy, że

$n \to \infty lim c_{n} = n \to \infty lim \frac{1}{5 n + 1} = 0$

czyli

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 0$

oraz

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że

$n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim \frac{cos ( n ^{2} + n )}{5 n + 1} = 0$

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność

$- 1 \leq cos 4 n \leq 1$

skąd mamy

$- 1 \leq cos 4 n \leq 1 ∣ \cdot \frac{2 n ^{2}}{n ^{3} + 2 n + 5} > 0$

$\frac{- 2 n ^{2}}{n ^{3} + 2 n + 5} \leq \frac{2 n ^{2} cos 4 n}{n ^{3} + 2 n + 5} \leq \frac{2 n ^{2}}{n ^{3} + 2 n + 5}$

Niech

$a_{n} = \frac{- 2 n ^{2}}{n ^{3} + 2 n + 5}$

$b_{n} = \frac{2 n ^{2} cos 4 n}{n ^{3} + 2 n + 5}$

$c_{n} = \frac{2 n ^{2}}{n ^{3} + 2 n + 5}$

otrzymujemy, że

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{- 2 n ^{2}}{n ^{3} + 2 n + 5} = n \to \infty lim \frac{n ^{3} ( - \frac{2}{n} )}{n ^{3} ( 1 + \frac{2}{n ^{2}} + \frac{5}{n ^{3}} )} =$

$= n \to \infty lim \frac{\frac{- 2}{n}}{1 + \frac{2}{n ^{2}} + \frac{5}{n ^{3}}} = \frac{0}{1 + 0 + 0} = 0$

Analogicznie dostajemy, że

$n \to \infty lim c_{n} = n \to \infty lim \frac{2 n ^{2}}{n ^{3} + 2 n + 5} = 0$

czyli

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 0$

oraz

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że

$n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim \frac{2 n ^{2} cos 4 n}{n ^{3} + 2 n + 5} = 0$

1. Obliczamy granicę

$n \to \infty lim \frac{1}{4 n} sin (4 n - 3) = n \to \infty lim \frac{sin ( 4 n - 3 )}{4 n}$

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność

$- 1 \leq sin (4 n - 3) \leq 1$

skąd mamy

$- 1 \leq sin (4 n - 3) \leq 1 ∣ : 4 n > 0$

$\frac{- 1}{4 n} \leq \frac{sin ( 4 n - 3 )}{4 n} \leq \frac{1}{4 n}$

Niech

$a_{n} = \frac{- 1}{4 n}$

$b_{n} = \frac{sin ( 4 n - 3 )}{4 n}$

$c_{n} = \frac{1}{4 n}$

otrzymujemy, że

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{- 1}{4 n} = n \to \infty lim - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{n} = - \frac{1}{4} \cdot n \to \infty lim \frac{1}{n} = - \frac{1}{4} \cdot 0 = 0$

Analogicznie dostajemy, że

$n \to \infty lim c_{n} = n \to \infty lim \frac{1}{4 n} = 0$

czyli

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 0$

oraz

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że

$n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim \frac{sin ( 4 n - 3 )}{4 n} = 0$

2. Obliczamy granicę

$n \to \infty lim \frac{5 n}{10 n + 1}$

otrzymujemy

$n \to \infty lim \frac{5 n}{10 n + 1} = n \to \infty lim \frac{5 n}{n ( 10 + \frac{1}{n} )} = n \to \infty lim \frac{5}{10 + \frac{1}{n}} = \frac{5}{10 + 0} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Zatem z 1) i 2) dostajemy, że

$n \to \infty lim (\frac{1}{4 n} sin (4 n - 3) - \frac{5 n}{10 n + 1}) = n \to \infty lim \frac{sin ( 4 n - 3 )}{4 n} - n \to \infty lim \frac{5 n}{10 n + 1} = 0 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

1. Obliczamy granicę

$n \to \infty lim \frac{3 n}{n ^{2} + 1} cos (3 n + 1) = n \to \infty lim \frac{3 n \cdot cos ( 3 n + 1 )}{n ^{2} + 1}$

Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność

$- 1 \leq cos (3 n + 1) \leq 1$

skąd mamy

$- 1 \leq cos (3 n + 1) \leq 1 ∣ \cdot \frac{3 n}{n ^{2} + 1} > 0$

$\frac{- 3 n}{n ^{2} + 1} \leq \frac{3 n \cdot cos ( 3 n + 1 )}{n ^{2} + 1} \leq \frac{3 n}{n ^{2} + 1}$

Niech

$a_{n} = \frac{- 3 n}{n ^{2} + 1}$

$b_{n} = \frac{3 n \cdot cos ( 3 n + 1 )}{n ^{2} + 1}$

$c_{n} = \frac{3 n}{n ^{2} + 1}$

otrzymujemy, że

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{- 3 n}{n ^{2} + 1} = \frac{n ^{2} \cdot \frac{- 3}{n}}{n ^{2} ( 1 + \frac{1}{n ^{2}} )} = n \to \infty lim \frac{\frac{- 3}{n}}{1 + \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$

Analogicznie dostajemy, że

$n \to \infty lim c_{n} = n \to \infty lim \frac{3 n}{n ^{2} + 1} = 0$

czyli

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = 0$

oraz

$a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$

zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że

$n \to \infty lim b_{n} = n \to \infty lim \frac{3 n \cdot cos ( 3 n + 1 )}{n ^{2} + 1} = 0$

2. Obliczamy granicę

$n \to \infty lim \frac{2 n}{n + 3}$

otrzymujemy

$n \to \infty lim \frac{2 n}{n + 3} = n \to \infty lim \frac{2 n}{n ( 1 + \frac{3}{n} )} = n \to \infty lim \frac{2}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{2}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2$

Zatem z 1) i 2) dostajemy, że

$n \to \infty lim (\frac{3 n}{n ^{2} + 1} \cdot cos (3 n + 1) + \frac{2 n}{n + 3}) = n \to \infty lim \frac{3 n \cdot cos ( 3 n + 1 )}{n ^{2} + 1} + n \to \infty lim \frac{2 n}{n + 3} = 0 + 2 = 2$