a)

Rozważmy ciąg 

$a_n=\frac{1+6+11+\dots +\left(5n-4\right)}{3n^2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Zauważmy, że w liczniku mamy daną sumę pewnego ciągu arytmetycznego. Pierwszy wyraz jest równy:

$b_1=1$

Różnica jest równa:

$r=b_2-b_1=6-1=5$

$n$-ty wyraz ciągu jest równy:

$b_n=b_1+\left(n-1\right)\cdot r$

$b_n=1+\left(n-1\right)\cdot 5=1+5n-5=5n-4$

Możemy więc z całą pewnością stwierdzić, że w liczniku mamy $n$ pierwszych wyrazów tego ciągu.

(zauważ, że gdyby np. ostatnim wyrazem w liczniku był $5n+1$, to wtedy mielibyśmy do czynienia z ciągiem o $n+1$ wyrazach; należy sprawdzić, czy $n$-ty wyraz ciągu na pewno jest równy ostatniemu wyrazowi sumy w liczniku)

W liczniku ułamka mamy sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, n-ty wyraz jest równy 5n-4.

Zatem korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dostajemy