Przypomnijmy, że  jeśli   $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a\text{i}{a}_n\ge 0$                                                                                                                                                             dla każdej liczby naturalnej dodatniej n, to  $\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\sqrt{a}}_n\right)=\sqrt{a}$

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a)

Zauważmy, że 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n^2+5n}{12n^2+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2\left(3+\frac{5}{n}\right)}{n^2\left(12+\frac{1}{n^2}\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3+\frac{5}{n}}{12+\frac{1}{n^2}}=\frac{3+0}{12+0}=\frac{1}{4}$  

Zatem dostajemy

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{3n^2+5n}{12n^2+1}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$  

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b)

Obliczamy podaną granicę i otrzymujemy 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4n^2+7}}{8n-9}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n^2\left(4+\frac{7}{n^2}\right)}}{8n-9}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\sqrt{4+\frac{7}{n^2}}}{n\left(8-\frac{9}{n}\right)}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4+\frac{7}{n^2}}}{8-\frac{9}{n}}=\frac{\sqrt{4+0}}{8-0}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$  

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c)

Obliczamy podana granicę i otrzymujemy 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{\sqrt{9n^2+5n+3}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{\sqrt{n^2\left(9+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}\right)}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\left(3+\frac{1}{n}\right)}{n\sqrt{9+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{n}}{\sqrt{9+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}}}=\frac{3+0}{\sqrt{9+0+0}}=\frac{3}{3}=1$  

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d)

Obliczamy podaną granicę i otrzymujemy 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\left(4n+1\right)\left(5+n\right)\left(4+n\right)}}{3n^2+2n+11}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\left(21n+4n^2+5\right)\left(4+n\right)}}{3n^2+2n+11}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{4n^3+37n^2+89n+20}}{3n^2+2n+11}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n^4\left(\frac{4}{n}+\frac{37}{n^2}+\frac{89}{n^3}+\frac{20}{n^4}\right)}}{n^2\left(3+\frac{2}{n}+\frac{11}{n^2}\right)}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2\sqrt{\frac{4}{n}+\frac{37}{n^2}+\frac{89}{n^3}+\frac{20}{n^4}}}{n^2\left(3+\frac{2}{n}+\frac{11}{n^2}\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\frac{4}{n}+\frac{37}{n^2}+\frac{89}{n^3}+\frac{20}{n^4}}}{3+\frac{2}{n}+\frac{11}{n^2}}=$   

$=\frac{\sqrt{0+0+0+0}}{3+0+0}=0$  

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e)

Zauważmy, że 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3+81}{7+64n^3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3\left(1+\frac{81}{n^3}\right)}{n^3\left(\frac{7}{n^3}+64\right)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{81}{n^3}}{\frac{7}{n^3}+64}=\frac{1+0}{0+64}=\frac{1}{64}$  

Zatem mamy

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n^3+81}}{\sqrt[3]{7+64n^3}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[3]{\frac{n^3+81}{7+64n^3}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$  

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f)

Obliczamy podaną granicę i otrzymujemy 

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2-4n+2}{\sqrt{\left(n^2-3\right)\left(n^2+5\right)}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2-4n+2}{\sqrt{n^4+2n^2-15}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2\left(5-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{\sqrt{n^4\left(1+\frac{2}{n^2}-\frac{15}{n^4}\right)}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2\left(5-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\sqrt{1+\frac{2}{n^2}-\frac{15}{n^4}}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}-\frac{15}{n^4}}}=\frac{5-0+0}{\sqrt{1+0-0}}=\frac{5}{1}=5$