a)

O nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n) wiadomo, że 

• $a_6=9+a_3$  
• $\frac{a_7+a_9+a_{10}}{3}=15$  

Z podanych warunków dostajemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}{a}_6=9+a_3\\ \frac{a_7+a_9+a_{10}}{3}=15\end{array}$  

Oznaczmy przez r różnice tego ciągu. 

Korzystając z określenia ciągu arytmetycznego dostajemy 

$\{\begin{array}{l}{a}_1+5r=9+a_1+2r\\ \frac{a_1+6r+a_1+8r+a_1+9r}{3}=15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3r=9\mid :3\\ \frac{3a_1+23r}{3}=15\end{array}$

$\{\begin{array}{l}r=3\\ \frac{3a_1+23\cdot 3}{3}=15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=3\\ a_1+23=15\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=3\\ a_1=-8\end{array}$  

Wyznaczamy wyraz ogólny tego ciągu 

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r=-8+\left(n-1\right)\cdot 3=-8+3n-3=3n-11$  

czyli 

$a_n=3n-11,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

---

b)

Wiadomo, że liczby a_k, a_k+1, a_k+5 (k ∈ N₊) w podanej kolejności są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu geometrycznego (b_n). 

Zatem mamy 

$b_1=a_k=3k-11$  

$b_2=a_{k+1}=3\left(k+1\right)-11=3k+3-11=3k-8$  

$b_3=a_{k+5}=3\left(k+5\right)-11=3k+15-11=3k+4$  

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dostajemy 

$b_2^2=b_1\cdot b_3$  

${\left(3k-8\right)}^2=\left(3k-11\right)\left(3k+4\right)$  

$9k^2-48k+64=9k^2+12k-33k-44$  

$-27k=-108\mid :\left(-27\right)$  

$k=4$  

Wyznaczamy iloraz q  tego ciągu

$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{3k-8}{3k-11}=\frac{3\cdot 4-8}{3\cdot 4-11}=\frac{4}{1}=4$