Założenie:

(a_n) - ciąg geometryczny;

$a_1-a_4<a_3-a_2$  

Teza:

$a_1<a_2$  

Dowód:

Oznaczmy przez q iloraz ciągu (a_n).

Korzystając z określenia ciągu geometrycznego mamy 

$a_1-a_1{q}^3<a_1{q}^2-a_{1}q\mid -a_1{q}^2+a_{1}q$  

$a_1-a_1{q}^3-a_1{q}^2+a_{1}q<0$  

$a_1\left(1-q^3-q^2+q\right)<0$  

$a_1\left(-q^3-q^2+q+1\right)<0$  

$a_1\left(-q^2\left(q+1\right)+\left(q+1\right)\right)<0$  

$a_1\left(q+1\right)\left(-q^2+1\right)<0$  

$a_1\left(q+1\right)\left(1-q^2\right)<0$  

$a_1\left(1+q\right)\left(1+q\right)\left(1-q\right)<0$  

$a_1\left(1-q\right){\left(1+q\right)}^2<0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, czyli 

${\left(1+q\right)}^2\ge 0$  

Zatem nierówność będzie spełniona, gdy iloczyn 

$a_1\left(1-q\right)$

będzie ujemny, czyli 

$a_1\left(1-q\right)<0$  

$a_1-a_{1}q<0$  

$a_1<a_{1}q=a_2$  

więc

$a_1<a_2$  

c.n.d.