Oznaczmy przez (a, b, c) ciąg geometryczny, w którym 

• $a+b+c=57$  
• $a\cdot b\cdot c=5832$  

Ponadto, skoro ciąg (a, b, c) jest geometryczny, to korzystając z zależności między trzeba kolejnymi wyrazami tego ciągu, dostajemy 

• $b^2=a\cdot c$  

---

Z podanych warunków dostajemy układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}a+b+c=57\\ a\cdot b\cdot c=5832\\ b^2=ac\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b+c=57\\ b\cdot b^2=5832\\ b^2=ac\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b+c=57\\ b^3=5832\mid \sqrt[3]{}\\ b^2=ac\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+b+c=57\\ b=18\\ b^2=ac\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a+18+c=57\Rightarrow c=39-a\\ b=18\\ 324=a\left(39-a\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}c=39-a\\ b=18\\ 324=39a-a^2\end{array}$  

Rozwiązując trzecie równanie dostajemy 

$324=39a-a^2$  

$a^2-39a+324=0$  

$\Delta ={\left(-39\right)}^2-4\cdot 1\cdot 324=1521-1296=225$  

$\sqrt{\Delta }=15$  

$a_1=\frac{39-15}{2}=12$  

$a_2=\frac{39+15}{2}=27$  

Zatem 

• dla a = 12 mamy 

$c=39-a=39-12=27$  

• dla a = 27 mamy 

$c=39-a=39-27=12$  

więc układ równań ma dwa rozwiązania 

$\{\begin{array}{l}a=12\\ b=18\\ c=27\end{array}\vee \{\begin{array}{l}a=27\\ b=18\\ c=12\end{array}$  

Zatem liczby tworzące ciąg geometryczny to 12,18 i 27. 

Odp. 12, 18, 27.