Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg (an), w którym każdy wyraz, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego tej samej liczby.

---

a)

Założenie:

$a_n=5n-3,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Teza:

Różnica 

$a_{n+1}-a_n$  

jest stała (nie zależy od n).

Dowód:

Rozpatrujemy różnicę a_n+1 - a_n dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n.

Otrzymujemy

$a_{n+1}-a_n=5\left(n+1\right)-3-\left(5n-3\right)=5n+5-3-5n+3=5$  

różnica dwóch sąsiednich wyrazów ciągu jest stała i równa 5, czyli ten ciąg jest arytmetyczny. 

c.n.d.

---

b)

Wyznaczamy pierwsze dwa wyrazy ciągu i otrzymujemy

$a_1=5\cdot 1-3=2$  

$a_2=5\cdot 2-3=7$  

Wyznaczamy różnicę r ciągu:

$r=a_2-a_1=7-2=5$  

Odp. a₁ = 2, r = 5. 

---

c)

Pierwszy wyraz ciągu jest równy  a₁ = 2, różnica jest równa r = 5, czyli dowolny wyraz ciągu (poza pierwszym) jest o 5 większy od poprzedniego wyrazu, zatem wzór rekurencyjny tego ciągu jest postaci 

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ a_{n+1}=a_n+5\text{,}n\ge 1\end{array}$