a)

Wyznaczamy punkty wspólne wykresów funkcji f i g rozwiązując układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}y=\frac{-2x}{x+1}\text{,}x\ne -1\\ y=-x^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x^2=\frac{-2x}{x+1}\mid \cdot \left(x+1\right)\\ y=-x^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x^2\left(x+1\right)=-2x\\ y=-x^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-x^3-x^2+2x=0\\ y=-x^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x\left(-x^2-x+2\right)=0\\ y=-x^2\end{array}$  

rozwiązujemy pierwsze równanie i otrzymujemy 

$x\left(-x^2-x+2\right)=0$  

$x=0\vee \underset{\Delta =9,\sqrt{\Delta }=3}{-x^2-x+2=0}$  

$x=1\vee x=-2$  

Zatem mamy

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1^2=-1\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-{\left(-2\right)}^2=-4\end{array}$  

czyli wykresy funkcji f i g przecinają się w trzech punktach: (0,0), (1,-1) i (-2,-4). 

 

Naszkicujemy wykresy obu funkcji. 

Przekształcając wzór funkcji f dostajemy 

$f\left(x\right)=\frac{-2x}{x+1}=\frac{-2x-2+2}{x+1}=\frac{-2x-2}{x+1}+\frac{2}{x+1}=$   

$=\frac{-2\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{2}{x+1}=-2+\frac{2}{x+1}=\frac{2}{x+1}-2$  

Zauważmy, że wykres funkcji f otrzymujemy przesuwając równolegle wykres funkcji y=²/_x o wektor [-1,-2] 

(o dwie jednostki w lewo i dwie jednostki w dół). 

$x$	$-2$	$-1$	$1$	$2$
$y=\frac{2}{x}$	$-1$	$-2$	$2$	$1$

 

Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych i otrzymujemy 

---

b)

Wyznaczamy punkty wspólne wykresów funkcji f i g rozwiązując układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}y=\frac{3x+10}{x+2}\text{,}x\ne -2\\ y={\left(x+1\right)}^2-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2-5=\frac{3x+10}{x+2}\mid \cdot \left(x+2\right)\\ y={\left(x+1\right)}^2-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(x^2+2x+1-5\right)\cdot \left(x+2\right)=3x+10\\ y={\left(x+1\right)}^2-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left(x^2+2x-4\right)\cdot \left(x+2\right)=3x+10\\ y={\left(x+1\right)}^2-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^3+2x^2+2x^2+4x-4x-8=3x+10\\ y={\left(x+1\right)}^2-5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^3+4x^2-3x-18=0\\ y={\left(x+1\right)}^2-5\end{array}$  

rozwiązujemy pierwsze równanie i otrzymujemy 

$x^3+4x^2-3x-18=0$  

$x^3-\underset{=4x^2}{\underbrace{2x^2+6x^2}}-\underset{=-3x}{\underbrace{12x+9x}}-18=0$  

$x^2\left(x-2\right)+6x\left(x-2\right)+9\left(x-2\right)=0$  

$\left(x-2\right)\left(x^2+6x+9\right)=0$  

$\left(x-2\right){\left(x+3\right)}^2=0$  

  $x-2=0\vee {\left(x+3\right)}^2=0$  

$x=2x+3=0$  

$x=-3$  

Zatem mamy

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y={\left(2+1\right)}^2-5=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=-3\\ y={\left(-3+1\right)}^2-5=-1\end{array}$  

czyli wykresy funkcji f i g przecinają się w dwóch punktach: (2,4), (-3,-1). 

 

Naszkicujemy wykresy obu funkcji. 

Przekształcając wzór funkcji f dostajemy 

$f\left(x\right)=\frac{3x+10}{x+2}=\frac{3x+6+4}{x+2}=\frac{3x+6}{x+2}+\frac{4}{x+2}=$   

$=\frac{3\left(x+2\right)}{x+2}+\frac{4}{x+2}=3+\frac{4}{x+2}=\frac{4}{x+2}+3$  

Zauważmy, że wykres funkcji f otrzymujemy przesuwając równolegle wykres funkcji y=⁴/_x o wektor [-2, 3]

(o dwie jednostki w lewo i trzy jednostki w górę). 

$x$	$-2$	$-1$	$1$	$2$
$y=\frac{4}{x}$	$-2$	$-4$	$4$	$2$

 

Wykres funkcji kwadratowej g jest parabolą o wierzchołku w punkcie (-1,-5). 

$x$	$-4$	$-3$	$1$	$2$
$y={\left(x+1\right)}^2-5$	$4$	$-1$	$-1$	$4$

 

Szkicujemy wykresy funkcji f i g w jednym układzie współrzędnych i otrzymujemy