Założenie:

$x>0,y>0,z>0,xy=9$  

Teza:

$\left(x+z\right)\cdot \left(y+z\right)⩾{\left(z+3\right)}^2$

Dowód: 

Rozważmy dodatnie liczby x i y. 

Korzystając z faktu, że średnia arytmetyczna liczb dodatnich jest nie mniejsza od średniej geometrycznej tych liczb, dostajemy 

$\frac{x+y}{2}⩾\sqrt{xy}$

$\frac{x+y}{2}⩾\sqrt{9}$

$\frac{x+y}{2}⩾3|\cdot 2$

$x+y⩾6\left(\star \right)$

Otrzymujemy więc, że 

$\left(x+z\right)\cdot \left(y+z\right)=\underset{=9}{\mathrm{xy}}+xz+yz+z^2=9+z\left(x+y\right)+z^2\stackrel{(\star )}{⩾}9+z\cdot 6+z^2={\left(z+3\right)}^2$

czyli 

$\left(x+z\right)\cdot \left(y+z\right)⩾{\left(z+3\right)}^2$

co należało wykazać.