Założenie:

$a\ne 0$  

Teza:

$a^4+\frac{128}{a^2}\ge 48$  

Dowód:

Rozważmy liczby dodatnie: 

$a^4,\frac{64}{a^2},\frac{64}{a^2}$  

Korzystając z faktu, że średnia arytmetyczna liczb dodatnich jest nie mniejsza od średniej geometrycznej tych liczb, dostajemy 

$\frac{a^4+\frac{64}{a^2}+\frac{64}{a^2}}{3}\ge \sqrt[3]{a^4\cdot \frac{64}{a^2}\cdot \frac{64}{a^2}}$  

$\frac{a^4+\frac{64}{a^2}+\frac{64}{a^2}}{3}\ge \sqrt[3]{64\cdot 64}$  

$\frac{a^4+\frac{128}{a^2}}{3}\ge 4\cdot 4\mid \cdot 3$  

$a^4+\frac{128}{a^2}\ge 48$  

 

c.n.d.