Zauważmy, że aby prosta y=(m-1)x+m+2 miała dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku S(1,2) i promieniu r=1, to odległość środka S okręgu od tej prostej musi być mniejsza od długości promienia.

---

Przekształcamy równanie danej prostej do postaci ogólnej 

$\left(m-1\right)x-y+m+2=0$  

Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej wyznaczamy odległość środka S(1,2) okręgu od tej prostej 

$\frac{\left|\left(m-1\right)\cdot 1-1\cdot 2+m+2\right|}{\sqrt{{\left(m-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|m-1-2+m+2\right|}{\sqrt{m^2-2m+1+1}}=\frac{\left|2m-1\right|}{\sqrt{m^2-2m+2}}$  

---

Odległość środka S okręgu od tej prostej musi być mniejsza od długości promienia, czyli 

$\frac{\left|2m-1\right|}{\sqrt{m^2-2m+2}}<1\mid \cdot \left(\sqrt{m^2-2m+2}\right)$  

$\left|2m-1\right|<\sqrt{m^2-2m+2}$  

obie strony nierówności są dodatnie, podnosząc nierówność stronami do kwadratu dostajemy 

${\left(\left|2m-1\right|\right)}^2<{\left(\sqrt{m^2-2m+2}\right)}^2$  

${\left(2m-1\right)}^2<m^2-2m+2$  

$4m^2-4m+1<m^2-2m+2$  

$3m^2-2m-1<0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16$  

$\sqrt{\Delta }=4$  

$m_1=\frac{2-4}{2\cdot 3}=-\frac{1}{3}$  

$m_2=\frac{2+4}{2\cdot 3}=1$  

korzystając z rysunku dostajemy, że rozwiązaniem nierówności jest przedział 

$m\in \left(-\frac{1}{3},1\right)$  

---

Odp.  $m\in \left(-\frac{1}{3},1\right).$