Przekształcamy równanie prostej k do postaci kierunkowej i otrzymujemy 

$x-y+9=0\mid +y$  

$x+9=y$  

czyli 

$k:y=x+9$  

---

Rysunek pomocniczy:

---

Zauważmy, że skoro kąt ACB ma być równy 90º to trójkąt ABC będzie prostokątny. 

---

Wyznaczamy współrzędne środka S przeciwprostokątnej AB:

$S=\left(\frac{-5+1}{2},\frac{2+4}{2}\right)=\left(-2,3\right)$  

Przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym jest średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie. 

Zatem okrąg opisany na trójkącie ABC ma środek w punkcie S(-2,3) a promień R tego okręgu jest równy

$R=\left|AS\right|=\sqrt{{\left(-2+5\right)}^2+{\left(3-2\right)}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$   

---

Punkt C leży na prostej k: y = x+9, czyli jego współrzędne są postaci (x, x+9).

Zauważmy, ze długość odcinka SC jest równa długości promienia R okręgu opisanego na trójkącie ABC, czyli dostajemy równanie 

$\left|SC\right|=R$   

$\sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(x+9-3\right)}^2}=\sqrt{10}$  

$\sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(x+6\right)}^2}=\sqrt{10}\mid {}^2$  

${\left(x+2\right)}^2+{\left(x+6\right)}^2=10$  

$x^2+4x+4+x^2+12x+36=10$  

$2x^2+16x+30=0\mid :2$  

$x^2+8x+15=0$  

$\Delta =8^2-4\cdot 1\cdot 15=64-60=4$  

$\sqrt{\Delta }=2$  

$x_1=\frac{-8-2}{2}=-5$  

$x_2=\frac{-8+2}{2}=-3$  

czyli 

• dla x = -5 mamy 

$x+9=-5+9=4$  

wtedy 

$\underline{\underline{C\left(-5,4\right)}}$  

• dla x = -3 mamy

$x+9=-3+9=6$  

wtedy 

$\underline{\underline{C\left(-3,6\right)}}$  

---

Odp. C(-5,4) lub C(-3, 6).