Dane jest równanie 

$\frac{x-2p}{3x-2}=\frac{2}{x}$  

Założenie:

$3x-2\ne 0\wedge x\ne 0$  

$x\ne \frac{2}{3}$  

czyli 

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0,\frac{2}{3}\right\}$  

---

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{x-2p}{3x-2}=\frac{2}{x}\mid \cdot x\left(3x-2\right)$  

$x\left(x-2p\right)=2\left(3x-2\right)$  

$x^2-2px=6x-4$  

$x^2-2px-6x+4=0$  

$x^2-\left(2p+6\right)x+4=0\left(\text{*}\right)$  

$\Delta ={\left(-\left(2p+6\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4={\left(2p+6\right)}^2-16=$  

$=4p^2+24p+36-16=4p^2+24p+20=4\left(p^2+6p+5\right)$  

Równanie ma dwa różne rozwiązania gdy Δ > 0, zatem mamy 

$4\left(p^2+6p+5\right)>0$  

$p^2+6p+5>0$  

${\Delta }_p=6^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$  

$\sqrt{{\Delta }_p}=4$  

$p_1=\frac{-6-4}{2}=-5$  

$p_2=\frac{-6+4}{2}=-1$

 

korzystając z rysunku dostajemy, że nierówność jest spełniona dla

$p\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(-1,+\infty \right)$  

---

Zgodnie z założeniem żadna z liczb x = 0 i x = ²/₃ nie może być pierwiastkiem równania (*), czyli

${\left(\frac{2}{3}\right)}^2-\left(2p+6\right)\cdot \frac{2}{3}+4\ne 0\wedge 0-\left(2p+6\right)\cdot 0+4\ne 0$  

$\frac{4}{9}-\frac{4}{3}p-4+4\ne 0\underset{\text{wyraz˙enie prawdziwe, dla}p\in \mathbb{R}}{4\ne 0}$  

$-\frac{4}{3}p\ne -\frac{4}{9}$  

$p\ne \frac{1}{3}$  

czyli

$p\ne \frac{1}{3}$  

---

Zatem otrzymujemy, że 

$p\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(-1,+\infty \right)\wedge p\ne \frac{1}{3}$  

czyli

$\underline{p\in \left(-\infty ,-5\right)\cup \left(-1,\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{3},+\infty \right)}$