Żeby obliczyć pole trójkąta musimy wyznaczyć długość jednego z boków trójkąta i długość wysokości opuszczonej na ten bok. 

---

Rysunek pomocniczy 

---

Punkt C leży na osi OY, czyli współrzędne tego punktu są postaci 

$C=\left(0,y_C\right)$

---

 Chcemy wyznaczyć współrzędne wierzchołka C tak by pole trójkąta ABC było równe 13. 

Korzystając ze wzoru na długość odcinka wyznaczamy długość boku AB  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(6-2\right)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$  

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy długość wysokości h poprowadzonej na bok AB 

$P=\frac{\left|AB\right|\cdot h}{2}$  

$13=\frac{5\cdot h}{2}\mid \cdot 2$  

$26=5\cdot h\mid :5$  

$\frac{26}{5}=h$  

---

Zauważmy, że wysokość h poprowadzona na podstawę AB jest równa odległości punktu C od prostej AB. 

Wyznaczymy wzór prostej AB. 

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A(1,2) i B(4,6) jest równy 

$a=\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$  

czyli ta prosta jest postaci 

$y=\frac{4}{3}x+b$  

Dodatkowo wiemy, że do wykresu tej prostej należy punkt A(1,2), czyli 

$2=\frac{4}{3}\cdot 1+b$  

$2=\frac{4}{3}+b$  

$\frac{2}{3}=b$  

więc ostatecznie wzór tej prostej to  

$y=\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$  

przekształcamy powyższy wzór do postaci ogólnej i mamy 

$-\frac{4}{3}x+y-\frac{2}{3}=0\mid \cdot 3$  

$-4x+3y-2=0$  

więc 

$\underline{AB:-4x+3y-2=0}$  

---

Wyznaczamy odległość punktu C(0, y_C) od prostej AB

$d\left(C,\text{pr.}AB\right)=\frac{\left|-4\cdot 0+3\cdot y_C-2\right|}{\sqrt{{\left(-4\right)}^2+3^2}}=\frac{\left|3y_C-2\right|}{\sqrt{16+9}}=\frac{\left|3y_C-2\right|}{\sqrt{25}}=\frac{\left|3y_C-2\right|}{5}$  

Z drugiej strony wiemy, że ta odległość jest równa wysokości h, czyli 

$\frac{\left|3y_C-2\right|}{5}=h$  

$\frac{\left|3y_C-2\right|}{5}=\frac{26}{5}\mid \cdot 5$  

$\left|3y_C-2\right|=26$  

Korzystając z własności wartości bezwzględnej mamy 

$3y_C-2=26\vee 3y_C-2-26$  

$3y_C=283y_C=-24$  

$y_C=\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}{y}_C=-\frac{24}{3}=-8$

więc 

$\underline{\underline{C\left(0,9\frac{1}{3}\right)\text{lub}C\left(0,-8\right)}}$  

---

Poniżej rysunek uwzględniający oba otrzymane przypadki