Twierdzenie  Prosta opisana równaniem kierunkowym                                                                                           $y=ax+b$   jest nachylona do osi OX pod takim kątem $\alpha ,\alpha \in ⟨0^{\circ },{90}^{\circ })\cup \left({90}^{\circ },{180}^{\circ }\right),$   że   $\mathrm{tg}\alpha =a.$

a)

Równanie ogólne prostej 

$k:\sqrt{3}x-y+1=0$  

przekształcamy do postaci kierunkowej i otrzymujemy 

$-y=-\sqrt{3}x-1\mid :\left(-1\right)$  

$y=\sqrt{3}x+1$  

Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta nachylenia prostej k do osi OX. 

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy a = √3, czyli 

$\mathrm{tg}\alpha =a=\sqrt{3}$  

więc

$\underline{\underline{\alpha ={60}^{\circ }}}$  

---

b)

Równanie ogólne prostej 

$k:\sqrt{12}x+6y-5=0$  

przekształcamy do postaci kierunkowej i otrzymujemy

$6y=-\sqrt{12}x+5\mid :6$  

$y=-\frac{\sqrt{12}}{6}x+\frac{5}{6}$  

$y=-\frac{2\sqrt{3}}{6}+\frac{5}{6}$  

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{5}{6}$  

Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta nachylenia prostej k do osi OX. 

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy a = -^√3/₃, czyli 

$\mathrm{tg}\alpha =a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$  

Korzystając ze wzorów redukcyjnych zauważmy, że

$-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\mathrm{tg}\left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)=\mathrm{tg}{150}^{\circ }$  

więc

$\underline{\underline{\alpha ={150}^{\circ }}}$  

---

c)

Równanie ogólne prostej 

$k:x+\sqrt{2}-2=0$  

przekształcając równanie prostej k mamy 

$k:x=2-\sqrt{2}$  

otrzymana prosta jest równoległa do osi OY, czyli kąt 𝛼 nachylenia tej prostej do osi OX jest równy 

$\underline{\underline{\alpha ={90}^{\circ }}}$  

---

d)

Równanie ogólne prostej 

$k:2y-\sqrt{3}+1=0$  

przekształcamy do postaci kierunkowej i otrzymujemy

$2y=\sqrt{3}-1\mid :2$  

$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$  

Oznaczmy przez 𝛼 miarę kąta nachylenia prostej k do osi OX. 

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy a = 0 (we wzorze nie występuje zmienna x), czyli 

$\mathrm{tg}\alpha =a=0$  

więc 

$\underline{\underline{\alpha =0^{\circ }}}$