a)

Funkcja f jest różniczkowalna we wszystkich punktach dziedziny, w których wykres przebiega "gładko" i nie ma "ostrzy". 

"Ostrza" występują w punktach (-1, 4) i (2, 4), czyli funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze 

$\left(-3,-1\right)\cup \left(-1,2\right)\cup \left(2,5\right)$  

---

b)

Korzystając z rysunku zapisujemy wzór funkcji f

• w przedziale $(-3,-1⟩$ funkcja $f$ jest liniowa i spełnia warunki:

$f\left(-2\right)=1\text{oraz}f\left(-1\right)=4$

zatem:

$\{\begin{array}{l}-2a+b=1\\ -a+b=4\end{array}$

odejmując równanie stronami otrzymujemy:

$-a=-3$

$a=3$

oraz

$b=4+a=7$

mamy zatem:

$f\left(x\right)=3x+7$

• w przedziale $(-1,2⟩$ funkcja $f$ przyjmuje stale wartość $4$, zatem:

$f\left(x\right)=4$

• w przedziale $\left(2,5\right)$ mamy fragment funkcji kwadratowej o wierzchołku w punkcie $\left(3,5\right)$, która przechodzi przez punkt $\left(4,4\right)$. Możemy zapisać, że:

$f\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2+5\text{oraz}f\left(4\right)=4$

$4=a{\left(4-3\right)}^2+5$

$a=-1$

mamy zatem:

$f\left(x\right)=-{\left(x-3\right)}^2+5$

---

Ostatecznie, wzór funkcji $f$ to:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}3x+7\text{,}& \text{jesˊli}x\in (-3,-1⟩\\ 4\text{,}& \text{jesˊli}x\in (-1,2⟩\\ -{\left(x-3\right)}^2+5\text{,}& \text{jesˊli}x\in \left(2,5\right)\end{array}$  

Wyznaczamy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\left(3x+7\right){}^{\prime }=3\text{,}& \text{jesˊli}x\in \left(-3,-1\right)\\ \left(4\right){}^{\prime }=0\text{,}& \text{jesˊli}x\in \left(-1,2\right)\\ \left(-{\left(x-3\right)}^2+5\right){}^{\prime }=-2\left(x-3\right)\text{,}& \text{jesˊli}x\in \left(2,5\right)\end{array}$  

Mamy 

$f{}^{\prime }\left(-2\right)=3$  

$f{}^{\prime }\left(1\right)=0$  

$f{}^{\prime }\left(3\right)=-2\left(3-3\right)=0$  

$f{}^{\prime }\left(4\right)=-2\left(4-3\right)=-2\cdot 1=-2$