Dana jest funkcja 

$f\left(x\right)=x^3+m{x}^2+3x+2,x\in \mathbb{R}$  

---

Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w zbiorze R. 

Wyznaczymy pochodną tej funkcji 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[x^3+m{x}^2+3x+2\right]{}^{\prime }=3x^2+2mx+3,x\in \mathbb{R}$  

---

Zauważmy, że funkcja y=f'(x) ma dodatni współczynnik przy x², czyli ramiona paraboli będącej wykresem tej funkcji są skierowane "do góry".

Zatem nie istnieje wartość parametru m dla której, dla każdej liczby rzeczywistej x spełniona byłaby nierówność f'(x) ≤ 0.

Tym samym nie istnieje wartość parametru m, dla której funkcja f byłaby malejąca w zbiorze R.

---

Pozostaje sprawdzić dla jakich wartości parametru m funkcja f jest rosnąca w zbiorze R, czyli rozwiążmy nierówność 

$f{}^{\prime }\left(x\right)\ge 0$  

$3x^2+2mx+3\ge 0$  

skoro nierówność ma być spełniona dla każdej liczby rzeczywistej x, to funkcja y=f'(x) musi mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe, czyli

$\Delta \le 0$  

${\left(2m\right)}^2-4\cdot 3\cdot 3\le 0$  

$4m^2-36\le 0$  

$4m^2\le 36\mid :4$  

$m^2\le 9\mid \sqrt{}$  

$\left|m\right|\le 3$  

$m\le 3\wedge m\ge -3$  

czyli 

$m\in ⟨-3,3⟩$  

otrzymaliśmy, że funkcja f jest rosnąca w zbiorze R wtedy i tylko wtedy gdy m ∈ <-3,3>. 

---

Odp. Poprawna odpowiedź to D.