Dana jest funkcja 

$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x^2-4},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$  

---

Wyznaczamy pochodną:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\left[\frac{ax+b}{x^2-4}\right]{}^{\prime }=\frac{\left(ax+b\right){}^{\prime }\cdot \left(x^2-4\right)-\left(ax+b\right)\cdot \left(x^2-4\right){}^{\prime }}{{\left(x^2-4\right)}^2}=$  

$=\frac{a\cdot \left(x^2-4\right)-\left(ax+b\right)\cdot 2x}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{a{x}^2-4a-2a{x}^2-2bx}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{-a{x}^2-2bx-4a}{{\left(x^2-4\right)}^2}$  

czyli

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-a{x}^2-2bx-4a}{{\left(x^2-4\right)}^2},x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,2\right\}$   

---

Dla a = 0 i b > 0 mamy 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2bx}{{\left(x^2-4\right)}^2}$

Wyznaczamy punkty krytyczne

$f{}^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$  

Ponadto 

$f{}^{\prime }\left(x\right)>0\iff -2bx>0\iff x\in \left(-\infty ,0\right)\backslash \left\{-2\right\}$   

$f{}^{\prime }\left(x\right)<0\iff -2bx<0\iff x\in \left(0,+\infty \right)\backslash \left\{2\right\}$  

Oznacza to, że funkcja na przedziałach $\left(-\infty ,-2\right)$, $\left(-2,0\right)$ rośnie, a na przedziałach $\left(0,2\right)$, $\left(2,+\infty \right)$ maleje. Czyli w punkcie 0 funkcja f ma maksimum lokalne. 

---

Odp. Poprawna odpowiedź to B.