Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0).  Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy, gdy                                                                                                                         istnieje właściwa granica   $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$    oraz  prawdziwa jest równość    $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

---

Dana jest funkcja

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-9}{|x|-3}\text{,}& \text{jesˊli}x\ne 3\wedge x\ne -3\\ a\text{,}& \text{jesˊli}x=3\vee x=-3\end{array}$  

---

Sprawdzamy dla jakiej wartości parametru a, a ∈ R funkcja f jest ciągła w punkcie 3. 

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, więc istnieje takie otocznie U(3), że dla każdej liczby x z tego otoczenia zachodzi x>0, wtedy |x|=x. 

Jeśli x dąży do 3 to licznik i mianownik ułamka 

$\frac{x^2-9}{\left|x\right|-3}$  

dąży do zera. 

Przekształcając ułamek mamy 

$\frac{x^2-9}{\left|x\right|-3}=\frac{x^2-3^2}{x-3}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{x-3}=x+3$  

stąd mamy 

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\left(x+3\right)=\left[3+3\right]=6$  

Z określenia funkcji f mamy 

$f\left(3\right)=a$  

Funkcja f będzie ciągła w punkcie 3, gdy 

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)$  

skąd dostajemy, że 

$a=6$  

---

Sprawdzamy dla jakiej wartości parametru a, a ∈ R funkcja f jest ciągła w punkcie -3. 

Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, więc istnieje takie otocznie U(-3), że dla każdej liczby x z tego otoczenia zachodzi x<0, wtedy |x|=-x. 

Jeśli x dąży do -3 to licznik i mianownik ułamka 

$\frac{x^2-9}{\left|x\right|-3}$  

dąży do zera. 

Przekształcając ułamek mamy 

$\frac{x^2-9}{\left|x\right|-3}=\frac{x^2-3^2}{-x-3}=\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{-\left(x+3\right)}=-\left(x-3\right)=3-x$  

stąd mamy 

$\underset{x\to -3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -3}{\lim }\left(3-x\right)=\left[3-\left(-3\right)\right]=6$  

Z określenia funkcji f mamy 

$f\left(-3\right)=a$  

Funkcja f będzie ciągła w punkcie -3, gdy 

$\underset{x\to -3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-3\right)$  

skąd dostajemy, że 

$a=6$  

---

Zatem otrzymaliśmy, że funkcja f jest ciągła w punktach 3 i -3 dla a = 6.