Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U(x0).  Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy, gdy                                                                                                                         istnieje właściwa granica   $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$    oraz  prawdziwa jest równość    $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$

---

a)

Zbadamy czy funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x^2-5x-3}{x-3}\text{,}& \text{jesˊli}x\ne 3\\ 7\text{,}& \text{jesˊli}x=3\end{array}$  

jest ciągła w punkcie 3. 

Funkcja f jest określona w punkcie 3.

Sprawdzamy najpierw, czy istnieje granica funkcji f w punkcie 3. 

Zauważmy, że gdy x dąży do 3, to licznik i mianownik ułamka

$\frac{2x^2-5x-3}{x-3}$  

dąży do zera. 

Przekształcając ułamek mamy 

$\frac{\stackrel{\text{(}\Delta =49,x_1=-\frac{1}{2},x_2=3\text{)}}{2x^2-5x-3}}{x-3}=\frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-3\right)}{x-3}=2x+1$  

Zatem

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x+1\right)=\left[2\cdot 3+1\right]=7$  

Zauważmy, że 

$f\left(3\right)=7$  

czyli

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)$  

czyli funkcja f jest ciągła w punkcie 3. 

---

b)

Zbadamy czy funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^3+7x^2+5x+1}{x+1}\text{,}& \text{jesˊli}x\ne -1\\ 0\text{,}& \text{jesˊli}x=-1\end{array}$  

jest ciągła w punkcie -1. 

Funkcja f jest określona w punkcie -1.

Sprawdzamy najpierw, czy istnieje granica funkcji f w punkcie -1. 

Zauważmy, że gdy x dąży do -1, to licznik i mianownik ułamka

$\frac{3x^3+7x^2+5x+1}{x+1}$  

dąży do zera. 

Wiadomo, że liczba -1 jest pierwiastkiem wielomianu znajdującego się w liczniku ułamka. Stosując metodę grupowania wyrazów rozkładamy ten wielomian na czynniki i otrzymujemy 

$3x^3+7x^2+5x+1=3x^3+3x^2+4x^2+4x+x+1=3x^2\left(x+1\right)+4x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=$  

$=\left(x+1\right)\underset{\text{(}\Delta =4,x_1=-1,x_2=-\frac{1}{3}\text{)}}{\left(3x^2+4x+1\right)}=\left(x+1\right)\cdot 3\left(x+1\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)={\left(x+1\right)}^2\left(3x+1\right)$  

Zatem mamy 

$\frac{3x^3+7x^2+5x+1}{x+1}=\frac{{\left(x+1\right)}^2\left(3x+1\right)}{\left(x+1\right)}=\left(x+1\right)\left(3x+1\right)$  

czyli 

$\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }\left(x+1\right)\left(3x+1\right)=\left[0\cdot \left(-2\right)\right]=0$  

Zauważmy, że 

$f\left(-1\right)=0$   

zatem otrzymaliśmy, że

$\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-1\right)$  

czyli funkcja f jest ciągła w punkcie -1. 

---

c)

Zbadamy czy funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{2x^2-11x+5}{x^2-10x+25}\text{,}& \text{jesˊli}x\ne 5\\ 9\text{,}& \text{jesˊli}x=5\end{array}$  

jest ciągła w punkcie 5. 

Funkcja f jest określona w punkcie 5.

Sprawdzamy najpierw, czy istnieje granica funkcji f w punkcie 5. 

Zauważmy, że gdy x dąży do 5, to licznik i mianownik ułamka

$\frac{2x^2-11x+5}{x^2-10x+25}$  

dąży do zera. 

Przekształcając ułamek mamy 

$\frac{\stackrel{\text{(}\Delta =81,x_1=\frac{1}{2},x_2=5\text{)}}{2x^2-11x+5}}{x^2-10x+25}=\frac{2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-5\right)}{{\left(x-5\right)}^2}=\frac{2x-1}{x-5}$  

Zauważmy, że funkcja liniowa y = x-5 przyjmuje wartości dodatnie dla x > 5, a wartości ujemne dla x < 5. 

Zatem jeśli x dąży do 5 z prawej strony, to mianownik ułamka przyjmuje wartości dodatnie, czyli

$\underset{x\to 5^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-5}=\left[\frac{2\cdot 5-1}{0^{+}}\right]=\left[\frac{9}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Bez wyznaczania granicy lewostronnej w punkcie 5 wiadomo już, że nie istnieje właściwa granica funkcji f w punkcie 5. 

Zatem punkt 5 jest punktem nieciągłości funkcji f. 

Funkcja f nie jest ciągła w punkcie 5. 

---

d)

Zbadamy czy funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-x-20}{x^2+5x+4}\text{,}& \text{jesˊli}x\ne -4\\ 3\text{,}& \text{jesˊli}x=-4\end{array}$  

jest ciągła w punkcie -4. 

Funkcja f jest określona w punkcie -4.

Sprawdzamy najpierw, czy istnieje granica funkcji f w punkcie -4. 

Zauważmy, że gdy x dąży do -4, to licznik i mianownik ułamka

$\frac{x^2-x-20}{x^2+5x+4}$  

dąży do zera. 

Przekształcając ułamek otrzymujemy 

$\frac{\stackrel{\text{(}\Delta =81,x_1=-4,x_2=5\text{)}}{x^2-x-20}}{\underset{\text{(}\Delta =9,x_1=-4,x_2=-1\text{)}}{x^2+5x+4}}=\frac{\left(x+4\right)\left(x-5\right)}{\left(x+4\right)\left(x+1\right)}=\frac{x-5}{x+1}$  

Zatem mamy 

$\underset{x\to -4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x-5}{x+1}=\left[\frac{-4-5}{-4+1}\right]=3$  

Zauważmy, że 

$f\left(-4\right)=3$  

zatem otrzymaliśmy, że

$\underset{x\to -4}{\lim }f\left(x\right)=f\left(-4\right)$  

czyli funkcja f jest ciągła w punkcie -4. 

---

e)

Zbadamy czy funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{9+12x^2}-3}{x^2}\text{,}& \text{jesˊli}x\ne 0\\ 2\text{,}& \text{jesˊli}x=0\end{array}$  

jest ciągła w punkcie 0. 

Funkcja f jest określona w punkcie 0.

Sprawdzamy najpierw, czy istnieje granica funkcji f w punkcie 0. 

Zauważmy, że gdy x dąży do 0, to licznik i mianownik ułamka

$\frac{\sqrt{9+12x^2}-3}{x^2}$  

dąży do zera.  

Przekształcamy ułamek mnożąc jego licznik i mianownik przez wyrażenie 

$\sqrt{9+12x^2}+3$  

i otrzymujemy 

$\frac{\left(\sqrt{9+12x^2}-3\right)\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}{x^2\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}=\frac{{\left(\sqrt{9+12x^2}\right)}^2-3^2}{x^2\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}=$  

$=\frac{9+12x^2-9}{x^2\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}=\frac{12x^2}{x^2\left(\sqrt{9+12x^2}+3\right)}=\frac{12}{\sqrt{9+12x^2}+3}$  

Uwaga:

Zauważmy, że:

${\left(\sqrt{9+12x^2}\right)}^2=\left|9+12x^2\right|$

Ale: $9>0,12x^2\ge 0$, a zatem: $9+12x^2>0$, czyli:

${\left(\sqrt{9+12x^2}\right)}^2=\left|9+12x^2\right|=9+12x^2$

Zatem mamy 

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{12}{\sqrt{9+12x^2}+3}=\left[\frac{12}{\sqrt{9}+3}\right]=\left[\frac{12}{6}\right]=2$  

Zauważmy, że 

$f\left(0\right)=2$  

zatem otrzymaliśmy, że

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$  

czyli funkcja f jest ciągła w punkcie 0. 

---

f)

Zbadamy czy funkcja 

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{12+4x^2}-4}{x-1}\text{,}& \text{jesˊli}x\ne 1\\ 1\text{,}& \text{jesˊli}x=1\end{array}$  

jest ciągła w punkcie 1. 

Funkcja f jest określona w punkcie 1.

Sprawdzamy najpierw, czy istnieje granica funkcji f w punkcie 1. 

Zauważmy, że gdy x dąży do 1, to licznik i mianownik ułamka

$\frac{\sqrt{12+4x^2}-4}{x-1}$  

dąży do zera.  

Przekształcamy ułamek mnożąc jego licznik i mianownik przez wyrażenie 

$\sqrt{12+4x^2}+4$  

i otrzymujemy 

$\frac{\left(\sqrt{12+4x^2}-4\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=\frac{{\left(\sqrt{12+4x^2}\right)}^2-4^2}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=\frac{12+4x^2-16}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=$  

$=\frac{4\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=\frac{4\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{12+4x^2}+4\right)}=\frac{4\left(x+1\right)}{\sqrt{12+4x^2}+4}$  

Uwaga:

Zauważmy, że:

${\left(\sqrt{12+4x^2}\right)}^2=\left|12+4x^2\right|$

Ale:

$12>0,4x^2\ge 0$, a zatem $12+4x^2>0$

W związku z tym:

${\left(\sqrt{12+4x^2}\right)}^2=\left|12+4x^2\right|=12+4x^2$

Zatem mamy 

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4\left(x+1\right)}{\sqrt{12+4x^2}+4}=\left[\frac{4\cdot \left(1+1\right)}{\sqrt{12+4}+4}\right]=\left[\frac{8}{8}\right]=1$  

Zauważmy, że 

$f\left(1\right)=1$  

zatem otrzymaliśmy, że

$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$  

czyli funkcja f jest ciągła w punkcie 1.