Sposób I. 

Skorzystamy z następującego twierdzenia 

Jeśli w czworokąt wypukły można wpisać okrąg, to pole tego czworokąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego w ten czworokąt i połowy obwodu czworokąta.

Wiedząc, że obwód czworokąta jest równy 54 cm, a promień koła wpisanego w ten czworokąt jest równy r = 4 cm, dostajemy, że pole tego czworokąta jest równe 

$P=r\cdot \frac{54}{2}=4\cdot 27=108\left[{\text{cm}}^2\right]$  

---

Sposób II. 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Niech punkty K, L, M i N będą punktami styczności okręgu wpisanego w czworokąt ABCD z bokami odpowiednio AB, BC, CD i AD. 

Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych dostajemy, że 

• $\left|AN\right|=\left|AK\right|=a$  
• $\left|BK\right|=\left|BL\right|=b$  
• $\left|CL\right|=\left|CM\right|=c$  
• $\left|DM\right|=\left|DN\right|=d$  

Wiadomo, że obwód czworokąta ABCD jest równy 54 cm, czyli 

$2a+2b+2c+2d=54$  

Odcinki łączące środek S okręgu wpisanego w czworokąt ABCD z wierzchołkami tego czworokąta dzielą go na cztery trójkąty ABS, BCS, CDS i ADS o wspólnej wysokości równej długości promienia okręgu wpisanego w ten czworokąt. 

Zatem mamy 

• $P_{ABS}=\frac{\left(a+b\right)\cdot 4}{2}=2\left(a+b\right)$  
  
  
• $P_{BCS}=\frac{\left(b+c\right)\cdot 4}{2}=2\left(b+c\right)$  
   
• $P_{CDS}=\frac{\left(c+d\right)\cdot 4}{2}=2\left(c+d\right)$  
   
• $P_{ADS}=\frac{\left(a+d\right)\cdot 4}{2}=2\left(a+d\right)$  

Wyznaczamy pole czworokąta ABCD 

$P_{ABCD}=P_{ABS}+P_{BCS}+P_{CDS}+P_{ADS}=2\left(a+b\right)+2\left(b+c\right)+2\left(c+d\right)+2\left(a+d\right)=$  

$=2\left(a+b+b+c+c+d+a+d\right)=2\underset{=54}{\underbrace{\left(2a+2b+2c+2d\right)}}=2\cdot 54=108\left[{\text{cm}}^2\right]$