a)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Niech punkty K, L, M, N będą środkami boków odpowiednio AB, BC, CD i AD czworokąta ABCD.

Wiadomo, że obwód prostokąta KLMN jest równy 20 cm, czyli 

$20=2a+2\left(a+3\right)$  

$20=4a+6$  

$14=4a$  

więc

$a=3,5$  

czyli 

$a+3=6,5$  

Obliczamy pole prostokąta KLMN

$P_{KLMN}=3,5\cdot 6,5=22,75$  

Korzystając z własności udowodnionej w poprzednim zadaniu (tj. w zadaniu 5.62 ze str. 131) dostajemy, że pole czworokąta ABCD jest 2 razy większe od pola prostokąta KLMN, czyli 

$P_{ABCD}=2\cdot P_{KLMN}=2\cdot 22,75=45,5$  

---

b)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku 

Niech punkty K, L, M, N będą środkami boków odpowiednio AB, BC, CD i AD czworokąta ABCD.

Niech P będzie spodkiem wysokości rombu KLMN poprowadzonej na przedłużenie boku NM. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym NLP otrzymujemy 

${\left(a+x\right)}^2+8^2={17}^2$  

${\left(a+x\right)}^2+64=289$  

${\left(a+x\right)}^2=225\text{i}a+x>0$  

czyli 

$a+x=15$  

skąd mamy 

$x=15-a$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym PML dostajemy 

$x^2+8^2=a^2$  

${\left(15-a\right)}^2+64=a^2$  

$225-30a+a^2+64=a^2$  

$289=30a\mid :30$  

$\frac{289}{30}=a$  

Obliczamy pole rombu KLMN

$P_{KLMN}=a\cdot h=\frac{289}{30}\cdot 8=\frac{1156}{15}$  

Korzystając z własności udowodnionej w poprzednim zadaniu (tj. w zadaniu 5.62 ze str. 131) dostajemy, że pole czworokąta ABCD jest 2 razy większe od pola równoległoboku KLMN, czyli 

$P_{ABCD}=2\cdot P_{KLMN}=2\cdot \frac{1156}{15}=\frac{2312}{15}=154\frac{2}{15}$  

---

c)

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku

Niech punkty K, L, M, N będą środkami boków odpowiednio AB, BC, CD i AD czworokąta ABCD.

Obliczamy pole równoległoboku KLMN

$P_{KLMN}=7\cdot 12\cdot \sin {150}^{\circ }=84\cdot \sin \left({180}^{\circ }-{30}^{\circ }\right)=84\cdot \sin {30}^{\circ }=84\cdot \frac{1}{2}=42$  

Korzystając z własności udowodnionej w poprzednim zadaniu (tj. w zadaniu 5.62 ze str. 131) dostajemy, że pole czworokąta ABCD jest 2 razy większe od pola równoległoboku KLMN, czyli 

$P_{ABCD}=2\cdot P_{KLMN}=2\cdot 42=84$