Wiadomo, że ciąg (x,y,1) jest ciągiem arytmetycznym. 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dostajemy 

$y=\frac{x+1}{2}$  

---

Wiadomo, że ciąg (1,x,y) jest geometryczny. 

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dostajemy 

$x^2=1\cdot y=y$  

---

Otrzymujemy więc układ równań postaci 

$\{\begin{array}{l}y=\frac{x+1}{2}\\ x^2=y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{x+1}{2}\mid \cdot 2\\ x^2=y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x^2=x+1\\ x^2=y\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2x^2-x-1=0\\ x^2=y\end{array}$  

rozwiązujemy pierwsze równanie i otrzymujemy 

$2x^2-x-1=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=1$  

Zatem układ równań ma dwa rozwiązania

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=1\\ y=1^2=1\end{array}$  

 

Odp. x = -¹/₂ i y = ¹/₄ lub x = 1 i y = 1.