Ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz tego ciągu, oprócz wyrazu pierwszego i ostatniego (jeśli taki istnieje) jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego, co symbolicznie możemy zapisać jako $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},n\ge 2$

---

Dany jest ciąg 

$\left(\frac{1}{\sqrt{3}+2},3,\sqrt{3}+4\right)$  

---

Wyrazy tego ciągu oznaczmy jako a₁, a₂ i a₃.

Wówczas mamy 

$a_1=\frac{1}{\sqrt{3}+2}$  

$a_2=3$  

$a_3=\sqrt{3}+4$  

---

Aby udowodnić, że ten ciąg jest arytmetyczny wystarczy wykazać, że 

$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$  

---

Obliczamy 

$\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}+2}+\sqrt{3}+4}{2}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}+2}\cdot \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-2}+\sqrt{3}+4}{2}=$  

$=\frac{\frac{\sqrt{3}-2}{{\sqrt{3}}^2-2^2}+\sqrt{3}+4}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}-2}{-1}+\sqrt{3}+4}{2}=\frac{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}+4}{2}=\frac{6}{2}=3=a_2$  

otrzymaliśmy, że 

$\frac{a_1+a_3}{2}=a_2$  

czyli ten ciąg jest arytmetyczny. 

c.n.d.