a)

$\frac{4}{3x+2}-\frac{5}{x-2}=0$  

Założenie:

$3x+2\ne 0\wedge x-2\ne 0$  

$3x\ne -2x\ne 2$  

$x\ne -\frac{2}{3}$  

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-\frac{2}{3},2\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{4}{3x+2}-\frac{5}{x-2}=0\mid \cdot \left(3x+2\right)\left(x-2\right)$  

$4\left(x-2\right)-5\left(3x+2\right)=0$  

$4x-8-15x-10=0$  

$-11x=18\mid :\left(-11\right)$

$x=-\frac{18}{11}=-1\frac{7}{11}$  

---

b)

$\frac{4}{x}-1=\frac{1}{x-1}$  

Założenie:

$x\ne 0\wedge x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{0,1\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{4}{x}-1=\frac{1}{x-1}\mid \cdot x\left(x-1\right)$  

$4\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)=x$  

$4x-4-x^2+x=x$  

$-x^2+4x-4=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$x^2-4x+4=0$  

${\left(x-2\right)}^2=0$  

$x-2=0$  

$x=2$  

---

c)

$\frac{1}{x+2}-\frac{2}{x-1}=1$  

Założenie:

$x+2\ne 0\wedge x-1\ne 0$  

$x\ne -2x\ne 1$  

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,1\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{1}{x+2}-\frac{2}{x-1}=1\mid \cdot \left(x+2\right)\left(x-1\right)$  

$x-1-2\left(x+2\right)=\left(x+2\right)\left(x-1\right)$  

$x-1-2x-4=x^2-x+2x-2$  

$x^2+2x+3=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot 3=4-12=-8<0$  

czyli równanie nie ma rozwiązania (jest sprzeczne). 

---

d)

$\frac{2}{x-3}+\frac{4x}{x+2}=\frac{1}{3}$  

Założenie:

$x-3\ne 0\wedge x+2\ne 0$  

$x\ne 3x\ne -2$    

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,3\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{2}{x-3}+\frac{4x}{x+2}=\frac{1}{3}\mid \cdot 3\left(x-3\right)\left(x+2\right)$  

$6\left(x+2\right)+12x\left(x-3\right)=\left(x-3\right)\left(x+2\right)$  

$6x+12+12x^2-36x=x^2+2x-3x-6$  

$11x^2-29x+18=0$  

$\Delta ={\left(-29\right)}^2-4\cdot 11\cdot 18=841-792=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{29-7}{2\cdot 11}=1$  

$x_2=\frac{29+7}{2\cdot 11}=\frac{36}{22}=\frac{18}{11}=1\frac{7}{11}$  

czyli równanie ma dwa rozwiązania

$x\in \left\{1,1\frac{7}{11}\right\}$  

---

e)

$\frac{1}{2-x}+\frac{4}{x^3-8}=0$  

Założenie:

$2-x\ne 0\wedge x^3-8\ne 0$  

$x\ne 2x^3\ne 8$  

$x\ne 2$  

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}}$

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{1}{2-x}+\frac{4}{x^3-8}=0$   

$-\frac{1}{x-2}+\frac{4}{x^3-2^3}=0$  

$-\frac{1}{x-2}+\frac{4}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=0\mid \cdot \left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$  

$-\left(x^2+2x+4\right)+4=0$  

$-x^2-2x-4+4=0$  

$-x^2-2x=0$  

$-x\left(x+2\right)=0$

$x=0\vee x+2=0$   

$x=-2$  

czyli równanie ma dwa rozwiązania

$x\in \left\{-2,0\right\}$  

---

f)

$\frac{4x^2}{x^3+27}=\frac{1}{9-3x+x^2}$  

Założenie:

$x^3+27\ne 0\wedge \underset{\Delta =-27<0}{9-3x+x^2\ne 0}$  

$x^3\ne -27x\in \mathbb{R}$  

$x\ne -3$  

czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-3\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$\frac{4x^2}{x^3+27}=\frac{1}{9-3x+x^2}$  

$\frac{4x^2}{x^3+3^3}=\frac{1}{x^2-3x+9}$  

$\frac{4x^2}{\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)}=\frac{1}{x^2-3x+9}\mid \cdot \left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)$  

$4x^2=x+3$  

$4x^2-x-3=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-3\right)=1+48=49$  

$\sqrt{\Delta }=7$  

$x_1=\frac{1-7}{2\cdot 4}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$  

$x_2=\frac{1+7}{2\cdot 4}=1$  

więc równanie ma dwa rozwiązania

$x\in \left\{-\frac{3}{4},1\right\}$