a)

$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}$  

Założenie:

$\underline{x\ne 0}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{x}{2}=\frac{8}{x}\mid \cdot 2x$  

$x^2=16$  

$x=4\vee x=-4$  

czyli równanie ma dwa rozwiązania

$x\in \left\{-4,4\right\}$  

---

b)

$\frac{x}{3}-\frac{9}{x^2}=0$  

Założenie:

$x^2\ne 0$  

$\underline{x\ne 0}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$\frac{x}{3}-\frac{9}{x^2}=0\mid \cdot 3x^2$  

$x^3-27=0$  

$x^3=27$  

$x=3$  

---

c)

$\frac{x}{x^2+3}=2$  

Założenie:

$x^2+3\ne 0$  

$x^2\ne -3$  

kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, suma liczby nieujemnej i dodatniej jest dodania, czyli warunek jest spełniony dla każdej liczby rzeczywistej x, czyli 

$\underline{x\in \mathbb{R}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$\frac{x}{x^2+3}=2\mid \cdot \left(x^2+3\right)$

$x=2\left(x^2+3\right)$  

$x=2x^2+6$  

$2x^2-x+6=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 2\cdot 6=1-48=-47<0$    

czyli to równanie jest sprzeczne (nie ma rozwiązania).

---

d)

$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{2-x}=2-x$  

Założenie:

$2-x\ne 0$  

$\underline{x\ne 2}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{2-x}=2-x\mid \cdot \left(2-x\right)$  

${\left(x-2\right)}^2={\left(2-x\right)}^2$   

$x^2-4x+4=4-4x+x^2$  

$0=0$  

równanie jest tożsamościowe, czyli uwzględniając założenie dostajemy, że 

$x\in \mathbb{R}\backslash \left\{2\right\}$  

---

e)

$\frac{6}{x}=x-1$  

Założenie: 

$\underline{x\ne 0}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy 

$\frac{6}{x}=x-1\mid \cdot x$  

$6=x^2-x$  

$x^2-x-6=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=3$  

czyli równanie ma dwa rozwiązania

$x\in \left\{-2,3\right\}$  

---

f)

$\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x-3}$  

Założenie:

$x+2\ne 0\wedge x-3\ne 0$  

$x\ne -2x\ne 3$  

$\underline{x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2,3\right\}}$  

 

Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy

$\frac{x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x-3}\mid \cdot \left(x+2\right)\left(x-3\right)$

$\left(x+1\right)\left(x-3\right)={\left(x+2\right)}^2$  

$x^2-3x+x-3=x^2+4x+4$  

$-2x-3=4x+4$  

$-6x=7\mid :\left(-6\right)$  

$x=-\frac{7}{6}=-1\frac{1}{6}$