$\text{a)}\sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}m+2\sqrt{3}\mid :\sqrt{2}$  

$\cos x=m+\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$  

$\cos x=m+\sqrt{6}$  

Wiemy, że cosx ∈ <-1, 1>, więc powyższe równanie jest sprzeczne, gdy:

$\cos x<-1\text{lub}\cos x>1$  

$m+\sqrt{6}<-1\text{lub}m+\sqrt{6}>1$  

$m<-1-\sqrt{6}\text{lub}m>1-\sqrt{6}$  

$m\in \left(-\infty ,-1-\sqrt{6}\right)\cup \left(1-\sqrt{6},+\infty \right)$  

---

$\text{b)}2\sin 2x=m^2-2\mid :2$  

$\sin 2x=\frac{1}{2}{m}^2-1$  

Wiemy, że sin2x ∈ <-1, 1>, więc powyższe równanie jest sprzeczne, gdy:

$\sin 2x<-1\text{lub}\sin 2x>1$  

$\frac{1}{2}{m}^2-1<-1\text{lub}\frac{1}{2}{m}^2-1>1$  

$\underset{\text{nier. sprzeczna}}{\frac{1}{2}{m}^2<0}\text{lub}\frac{1}{2}{m}^2>2$  

$\frac{1}{2}{m}^2>2\mid \cdot 2$  

$m^2>4\mid \sqrt{}$  

$\left|m\right|>2$  

$m>2\text{lub}m<-2$  

$m\in \left(-\infty ,-2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$  

---

$\text{c)}{\text{ctg}}^{2}x+1=m+{\sin }^{2}x$  

Zakładamy, że cotangens jest określony, czyli:

$x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Przekształcamy równoważnie dane równanie.

${\text{ctg}}^{2}x+1=m+{\sin }^{2}x$  

${\text{ctg}}^{2}x+\cancel{{\sin }^{2}x}+{\cos }^{2}x=m+\cancel{{\sin }^{2}x}$  

${\text{ctg}}^{2}x+{\cos }^{2}x=m$  

Wiemy, że ctgx ∈ R oraz, że suma kwadratów dwóch liczb jest liczbą nieujemną, więc powyższe równanie jest sprzeczne, gdy prawa strona jest ujemna, czyli:

$m<0$  

$m\in \left(-\infty ,0\right)$