Podstawowe tożsamości trygonometryczne: $\text{1)}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{dla dowolnego}x\in \mathbf{R}$   $\text{2)}\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\text{dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}$   $\text{3)}\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}\text{dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{k\pi :k\in \mathbf{Z}\right\}$   $\text{4)}\text{ctg}x=\frac{1}{\text{tg}x}\text{i}\text{tg}x=\frac{1}{\text{ctg}x}\text{dla}x\in \mathbf{R}\backslash \left\{\frac{k\pi }{2}:k\in \mathbf{Z}\right\}$

---

a) Dla wszystkich x, dla których lewa i prawa strona równania są określone, możemy następująco przekształcić lewą oraz prawą stronę równania:

$L=\frac{\text{tg}x}{1+{\text{tg}}^{2}x}=$  

$=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=$  

$=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=$  

$=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{{\cos }^{2}x}}=$  

$=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot {\cos }^{2}x=$  

$=\sin x\cos x$  

$P=\frac{\text{ctg}x}{1+{\text{ctg}}^{2}x}=$  

$=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{1+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}=$  

$=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}=$  

$=\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{{\sin }^{2}x}}=$  

$=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot {\sin }^{2}x=$  

$=\sin x\cos x$

Otrzymaliśmy, że

$L=P$  

więc dana równość jest tożsamością dla wszystkich x, dla których lewa i prawa strona równania są określone.

---

b) Dla wszystkich x, dla których lewa i prawa strona równania są określone, możemy następująco przekształcić lewą oraz prawą stronę równania:

$L=\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{{\sin }^{2}x}=$  

$=\frac{{\sin }^{2}x+\cos x}{{\sin }^{2}x\cos x}=$  

$=\frac{{\sin }^{2}x+\cos x}{{\sin }^{2}x\cos x}\cdot \frac{\cos x}{\cos x}=$  

$=\frac{{\sin }^{2}x\cos x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$  

$P=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}=$  

$=\frac{{\cos }^{2}x+\sin x}{\sin x\cos x^{2}x}=$  

$=\frac{{\cos }^{2}x+\sin x}{\sin x\cos x^{2}x}\cdot \frac{\sin x}{\sin x}=$  

$=\frac{\sin x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}$  

Po sprowadzeniu wyrażeń do wspólnego mianownika otrzymaliśmy, że mają one różne liczniki.

Wynika stąd, że równość prawdopodobnie nie będzie tożsamością. Potwierdzimy to, obliczając wartości lewej i prawej strony równania np. dla x=^π/₆.

$L=\frac{1}{\cos \left(\frac{\pi }{6}\right)}+\frac{1}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}+4$

$P=\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)}+\frac{1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=2+\frac{1}{\frac{3}{4}}=1+\frac{4}{3}=1+1\frac{1}{3}=2\frac{1}{3}$  

Otrzymaliśmy, że dla x=^π/₆

$L\ne P$

więc dana równość nie jest tożsamością.

---

c) Dla wszystkich x, dla których lewa i prawa strona równania są określone, możemy następująco przekształcić lewą stronę równania:

$L=\frac{{\sin }^{2}x+\sin x\cos x+{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x}=$  

$=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-\sin x\cos x}=$  

$=\frac{1+\sin x\cos x}{1-\sin x\cos x}$  

Prawa strona równania ma postać

$P=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$  

Wynika stąd, że równość prawdopodobnie nie będzie tożsamością. Potwierdzimy to, obliczając wartości lewej i prawej strony równania np. dla x=0.

$L=\frac{1+\sin 0\cdot \cos 0}{1-\sin 0\cdot \cos 0}=\frac{1+0\cdot 1}{1-0\cdot 1}=\frac{1}{1}=1$  

$P=\frac{\sin 0+\cos 0}{\sin 0-\cos 0}=\frac{0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$  

Otrzymaliśmy, że dla x=0

$L\ne P$

więc dana równość nie jest tożsamością.

---

d) Dla wszystkich x, dla których lewa i prawa strona równania są określone, możemy następująco przekształcić lewą:

$L={\left(\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\cdot \sin x}{\text{tg}x}+\frac{\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\cdot \cos x}{\text{ctg}x}\right)}^2=$  

$={\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}}\right)}^2=$  

$={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\right)}^2=$  

$={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)}^2=$  

$={\left[\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x+\sin x\right)\right]}^2=$  

$=\frac{2}{4}{\left(\cos x+\sin x\right)}^2=$  

$=\frac{1}{2}\left({\cos }^{2}x+2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x\right)=$  

$=\frac{1}{2}\left(1+2\sin x\cos x\right)=$  

$=\frac{1}{2}+\sin x\cos x=P$  

Otrzymaliśmy, że

$L=P$  

więc dana równość jest tożsamością dla wszystkich x, dla których lewa i prawa strona równania są określone.