Oznaczmy

$\mathbf{a}\text{ - długosˊcˊ krawędzi podstawy}$  

$\mathbf{H}\text{ - długosˊcˊ wysokosˊci graniastosłupa}$  

Zapiszmy, że jeśli graniastosłup ma podaną objętość to

$V=36$

$6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=36\mid :\frac{a^2\cdot 3\sqrt{3}}{2}$   

$H=36\cdot \frac{2}{3\sqrt{3}{a}^2}$  

$H=\frac{24}{\sqrt{3}{a}^2}$  

$H=\frac{24\sqrt{3}}{3a^2}$  

$H=\frac{8\sqrt{3}}{a^2}$  

Zatem funkcja wyrażająca pole powierzchni tego graniastosłupa jest nasypująca

$P\left(a\right)=2\cdot \left(6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)+6\cdot a\cdot H=3\sqrt{3}{a}^2+6a\cdot \frac{8\sqrt{3}}{a^2}=3\sqrt{3}{a}^2+\frac{48\sqrt{3}}{a}$  

Obliczmy pochodną

$P{}^{\prime }\left(a\right)=6\sqrt{3}a-\frac{48\sqrt{3}}{a^2}=\frac{6\sqrt{3}{a}^3-48\sqrt{3}}{a^2}$  

Rozwiązujemy równanie

$\frac{6\sqrt{3}{a}^3-48\sqrt{3}}{a^2}=0\text{, gdzie }{a}^2>0$  

$6\sqrt{3}{a}^3-48\sqrt{3}=0\mid :6\sqrt{3}$  

$a^3-8=0$  

Stąd

$a=2$  

Zauważmy, że będzie to minimum. Stąd

$H=\frac{8\sqrt{3}}{2^2}=2\sqrt{3}$  

Przekątną ściany bocznej możemy policzyć z Twierdzenia Pitagorasa

$d^2=H^2+a^2$  

$d^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2$  

$d^2=12+4$  

$d^2=16$  

$d=4$

Przekątna ściany wynosi 4 cm.