Sporządźmy rysunek.

Przypomnijmy że wzór na promień okręgu wpisanego to

$r=\frac{a+b-c}{2}$  

Zatem

$\frac{a+b-c}{2}=1\mid \cdot 2$

$a+b-c=2\mid +c-2$   

$c=a+b-2$  

Zachodzi również Twierdzenie Pitagorasa

$c^2=a^2+b^2$  

${\left(a+b-2\right)}^2=a^2+b^2$  

$a^2+2a\left(b-2\right)+{\left(b-2\right)}^2=a^2+b^2$  

$a^2+2ab-4a+b^2-4b+4=a^2+b^2$  

$2ab-4a-4b+4=0\mid +4a-4$  

$2b\left(a-2\right)=4a-4\mid :2\left(a-2\right)\ne 0\text{, bo }a>2r=2$  

$b=\frac{2a-2}{a-2}$  

Stąd dostajemy

$c=a+\frac{2a-2}{a-2}-2$  

Promień okręgu opisanego na trójkącie to połowa przeciwprostokątnej

$R=\frac{c}{2}$  

Zatem funkcja wyrażająca ten promień to

$F\left(a\right)=\frac{1}{2}\left(a+\frac{2a-2}{a-2}-2\right)=\frac{a-1}{a-2}+\frac{a-2}{2}$  

Szukamy jej minimum. Obliczmy pochodną.

$F{}^{\prime }\left(a\right)=\frac{a-2-\left(a-1\right)}{{\left(a-2\right)}^2}+\frac{1}{2}=\frac{a-2-a+1}{{\left(a-2\right)}^2}+\frac{{\left(a-2\right)}^2}{2{\left(a-2\right)}^2}=\frac{-2}{2{\left(a-2\right)}^2}+\frac{{\left(a-2\right)}^2}{2{\left(a-2\right)}^2}=\frac{-2+a^2-4a+4}{2{\left(a-2\right)}^2}=\frac{a^2-4a+2}{2{\left(a-2\right)}^2}$  

Mamy równanie

$\frac{a^2-4a+2}{2{\left(a-2\right)}^2}=0$  

$a^2-4a+2=0$  

${\Delta }_a={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8,\sqrt{{\Delta }_a}=2\sqrt{2}$

$a=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}\vee \frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$  

Przypomnijmy, że ze względu na to, że r = 1

$a>2$  

Zatem w a =2+√2 mamy minimum. Stąd boki trójkąta

$a=2+\sqrt{2}$  

$b=\frac{2\left(2+\sqrt{2}\right)-2}{2+\sqrt{2}-2}=\frac{4+2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}=\frac{\left(2+2\sqrt{2}\right)\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$  

$c=2+\sqrt{2}+2+\sqrt{2}-2=2+2\sqrt{2}$