a) Szukamy wartości największej i najmniejszej. Obliczmy pochodną

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(9-x^2\right)}}\cdot \left(2x\left(9-x^2\right)+\left(1+x^2\right)\cdot \left(-2x\right)\right)=\frac{18x-2x^3-2x-2x^3}{2\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(9-x^2\right)}}=\frac{-4x^3+16x}{2\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(9-x^2\right)}}=\frac{-2x^3+8x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(9-x^2\right)}}$  

Rozwiązujemy równanie

$\frac{-2x^3+8x}{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(9-x^2\right)}}=0$  

Wiemy, że

$\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(9-x^2\right)}>0,x\in \left(-3,3\right)$  

Zatem

$-2x^3+8x=0$  

$2x\left(4-x^2\right)=0$  

$2x\left(2-x\right)\left(2+x\right)=0$  

Mamy

 - minimum w punkcie x = 0

 - maksimum w punkcie x = -2 i x = 2

$f\left(0\right)=\sqrt{1\cdot 9}=3$

$f\left(-2\right)=\sqrt{5\cdot \left(9-4\right)}=\sqrt{25}=5$  

$f\left(-2\right)=\sqrt{5\cdot \left(9-4\right)}=\sqrt{25}=5$  

Wartości na końcach przedziału

$f\left(-3\right)=\sqrt{\left(1+{\left(-3\right)}^2\right)\left(9-{\left(-3\right)}^2\right)}=0$  

$f\left(3\right)=\sqrt{\left(1+3^2\right)\left(9-3^2\right)}=0$  

Największa wartość

$M=5$  

Najmniejsza wartość

$m=0$  

Zatem zbiór wartości tej funkcji to