Wyznacz przedziały monotoniczności...- Zadanie 2: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie:

1) Jeżeli pochodna funkcji f jest dodatnia w przedziale (a, b), z wyjątkiem

co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0, to

funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.

2) Jeżeli pochodna funkcji f jest ujemna w przedziale (a, b), z wyjątkiem

co najwyżej skończonej liczby punktów, w których przyjmuje ona wartość 0, to

funkcja f jest w tym przedziale malejąca.

Jeśli funkcja f jest rosnąca (malejąca) w przedziale (a, b) i jest ciągła w przedziale

<a, b>, to jest rosnąca (malejąca) w przedziale <a, b>.

a) Dziedzina funkcji

$D = R \ {\frac{5}{3}}$

Obliczamy pochodną

$f^{'} (x) = \frac{( 2 x - 3 ) ^{'} ( 5 - 3 x ) - ( 2 x - 3 ) ( 5 - 3 x ) ^{'}}{( 5 - 3 x ) ^{2}} = \frac{2 ( 5 - 3 x ) + 3 ( 2 x - 3 )}{( 5 - 3 x ) ^{2}} = \frac{10 - 6 x + 6 x - 9}{( 5 - 3 x ) ^{2}} = \frac{1}{( 5 - 3 x ) ^{2}}$

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji f'

$f^{'} (x) = 0$

$\frac{1}{( 5 - 3 x ) ^{2}} = 0$

Zauważmy, że funkcja nie ma miejsc zerowych. Wiemy, że

$(5 - 3 x)^{2} > 0, x \in D$

Możemy wywnioskować, że

$f^{'} (x) > 0 dla x \in (- \infty, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, + \infty)$

Zatem:

- funkcja jest rosnąca na przedziałach

$(- \infty, \frac{5}{3}), (\frac{5}{3}, + \infty)$

Treść dostępna tylko dla użytkowników z aktywnym Premium

Odrabiamy Premium

Jeden dostęp. Zadania, kursy wideo i wsparcie AI.

39 zł

Rozpocznij Premium

Opracowania zadań z ponad 3000 podręczników – przygotowane przez nauczycieli

Ponad 100 kursów wideo do sprawdzianów, E8 i matury

Odrabiak Pro – interaktywna nauka z każdym szkolnym podręcznikiem

Gotowe notatki, tablice edukacyjne i sprawdziany

Natalia Wodka

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Monotoniczność funkcji

11:35

Zobacz lekcję

Odczytywanie własności funkcji (1)

Premium

12:49

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Premium

13:10

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.