Mamy

$x_0=-1$  

Wyznaczmy równanie stycznej. Mamy

$f{}^{\prime }\left(x\right)=3x^2$

$f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3=-1$  

Stąd

$y=3\cdot {\left(-1\right)}^2\left(x-\left(-1\right)\right)+\left(-1\right)$  

$y=3\left(x+1\right)-1$

$y=3x+3-1$

$y=3x+2$    

---

Punkt A

$\left(-1,-1\right)$

Prosta p

$y=3x+2$   

Przecięcie się prostej i wykresu (szukamy takiego poza punktem A)

$x^3=3x+2$  

$x^3-3x-2=0$  

$x^3-x-2x-2=0$  

$x\left(x^2-1\right)-2\left(x+1\right)=0$  

$x\left(x-1\right)\left(x+1\right)-2\left(x+1\right)=0$  

$\left(x+1\right)\left(x^2-x-2\right)=0$  

$\left(x+1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$  

$x=-1\vee x=2$

Zatem x = 2

$f\left(2\right)=8$  Mamy

$B=\left(2,8\right)$

Odległość

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-1-2\right)}^2+{\left(-1-8\right)}^2}=\sqrt{9+81}=3\sqrt{10}$