Rozważmy granicę dla 

$a\ne -2\wedge a\ne 2$  

tak aby stopień wielomianu w mianowniku nie był niższy niż 2. Mamy

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left(6-3a\right)x^2+4x+7}{\left(a^2-4\right)x^2-x+12}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(\left(6-3a\right)+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}\right)}{x^2\left(a^2-4\right)-\frac{1}{x}+\frac{12}{x^2}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left(6-3a\right)+\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}}{\left(a^2-4\right)-\frac{1}{x}+\frac{12}{x^2}}=\frac{6-3a}{a^2-4}=\frac{-3\left(-2+a\right)}{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}=\frac{-3}{a+2}$  

Zatem powinna zachodzić równość

$\frac{-3}{a+2}=2-3a\mid \cdot \left(a+2\right)$  

$-3=\left(2-3a\right)\left(a+2\right)$  

$-3=2a+4-3a^2-6a\mid +3$  

$0=-3a^2-4a+7$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 7=16+84=100,\sqrt{\Delta }=10$  

$a=\frac{4-10}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-6}{-6}=1\vee a=\frac{4+10}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{14}{-6}=-\frac{7}{3}$  

---

Obliczmy tą granicę gdy a = 2

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4x+7}{-x+12}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x\left(4+\frac{7}{x}\right)}{x\left(-1+\frac{12}{x}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4+\frac{7}{x}}{-1+\frac{12}{x}}=\frac{4}{-1}=-4$  

Sprawdźmy

$2-3\cdot 2=2-6=-4$  

Zgadza się.

Obliczmy granicę gdy a =-2

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{12x^2+4x+7}{-x+12}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x\left(12x+4+\frac{7}{x}\right)}{x\left(-1+\frac{12}{x}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{12x+4+\frac{7}{x}}{-1+\frac{12}{x}}=\frac{\infty +4}{-1}=-\infty$  

Sprzeczność.

---

Ostatecznie

$a=1\vee a=-\frac{7}{3}\vee a=2$