a) Zauważmy, że przepis funkcji to nieskończony ciąg geometryczny,

$a_1=1,q=\frac{x}{2}$  

Aby suma była zbieżna musi zachodzić

$\left|q\right|<1$  

$\left|\frac{x}{2}\right|<1$  

$-1<\frac{x}{2}<1$  

$-2<x<2$  

Dziedzina funkcji

$D=\left(-2,2\right)$   

Obliczmy sumę

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{\frac{2-x}{2}}=\frac{2}{2-x}$  

Zatem

$f\left(x\right)=\frac{2}{2-x}$  

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich argumentów należących do dziedziny.

---

b) Zauważmy, że przepis funkcji to nieskończony ciąg geometryczny,

$a_1=-\frac{x}{3},q=-\frac{x}{3}$  

Aby suma była zbieżna musi zachodzić

$\left|q\right|<1$  

$\left|-\frac{x}{3}\right|<1$  

$-1<\frac{x}{3}<1$