a) Mamy

$S=32$  

$S_4=30$  

Zatem

$S=\frac{a_1}{1-q}=32$  

$a_1=32\left(1-q\right)$  

Oraz

$S_4=a_1\cdot \frac{1-q^4}{1-q}=30$  

$a_1=\frac{30\left(1-q\right)}{1-q^4}$  

Stąd otrzymamy równanie

$32\left(1-q\right)=\frac{30\left(1-q\right)}{1-q^4}\mid :\left(1-q\right)$  

$32=\frac{30}{1-q^4}\mid \cdot \left(1-q^4\right)$  

$32-32q^4=30\mid -32$  

$-32q^4=-2\mid :\left(-32\right)$  

$q^4=\frac{1}{16}$  

$q^2=\frac{1}{4}$  

$q=\frac{1}{2}\vee q=-\frac{1}{2}$  

Stąd

$a_1=32\left(1-\frac{1}{2}\right)=32\cdot \frac{1}{2}=16$  

lub

$a_1=32\left(1+\frac{1}{2}\right)=32\cdot \frac{3}{2}=48$  

Zatem

$\{\begin{array}{l}{a}_1=16\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{a}_1=48\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}$  

---

b) Mamy

$a_2=6$  

$a_1\cdot q=6\mid :a_1$  

$q=\frac{6}{a_1}$  

Oraz

$S=\frac{a_1}{1-q}=27$  

Zatem po podstawianiu otrzymamy równanie

$\frac{a_1}{1-\frac{6}{a_1}}=27$  

$\frac{a_1}{\frac{a_1-6}{a_1}}=27$  

$\frac{a_1^2}{a_1-6}=27$  

$a_1^2=27a_1-162\mid =162$  

$a_1^2-27a_1+162=0$  

$\Delta ={\left(-27\right)}^2-4\cdot 1\cdot 162=729-648=81,\sqrt{\Delta }=\sqrt{81}=9$  

$a_1=\frac{27-9}{2}=9\vee a_1=\frac{27+9}{2}=18$  

Stąd

$q=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\vee q=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$  

Zatem

$\{\begin{array}{l}{a}_1=9\\ q_1=\frac{2}{3}\end{array}\vee \{\begin{array}{l}{a}_1=18\\ q_2=\frac{1}{3}\end{array}$