a) Zauważmy, że:

$2+2^2+2^3+\dots +2^n$  

jest sumą ciągu geometrycznego takiego, że:

$b_1=2$  

$q=2$  

Zatem ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego:

$S_n=2\cdot \frac{1-2^n}{1-2}=2\cdot \left(2^n-1\right)=2\cdot 2^n-2$  

Stąd

$x_n=-1+2\cdot 2^n-2=2\cdot 2^n-3$  

Granica

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{1+x_n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2\cdot 2^n-3}{1+2\cdot 2^n-3}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n\left(2-\frac{3}{2^n}\right)}{2^n\left(2-\frac{2}{2^n}\right)}=\frac{2}{2}=1$  

---

b) Zauważmy, że:

$x_n={\left(\frac{1+3+5+\dots +2n-1}{n}\right)}^2$  

Możemy w liczniku policzyć sumę ciągu arytmetycznego:

$1+3+5+\dots +2n-1=\frac{1+2n-1}{2}\cdot n=n^2$  

Zatem

$x_n={\left(\frac{n^2}{n}\right)}^2=n^2$  

Granica

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{1+n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n^2\left(\frac{1}{n^2}+1\right)}=\frac{1}{0+1}=\frac{1}{1}=1$