a) Niech M będzie dowolną liczbą dodatnią. Wykażemy, że istnieje takie naturalne k, że wszystkie wyrazy o numerach większych są większe do liczby M.

$a_n>M$  

$0,01n+1>M\mid -1$

$0,01n>M-1\mid \cdot 100$

$n>100M-100$    

Zatem wystarczy wziąć największą naturalną liczbę k, spełniającą

$k\le 100M-100$  

wtedy każdy wyraz o numerze większym od k jest większy od M.

---

Niech M będzie dowolną liczbą dodatnią. Wykażemy, że istnieje takie naturalne k, że wszystkie wyrazy o numerach większych są większe do liczby M.

$b_n>M$  

$\frac{n^2}{12}-3>M\mid +3$

$\frac{n^2}{12}>M+3\mid \cdot 12$

$n^2>12M+36$    

$n>\sqrt{12M+36}$    

Zatem wystarczy wziąć największą naturalną liczbę k, spełniającą

$k\le \sqrt{12M+36}$  

wtedy każdy wyraz o numerze większym od k jest większy od M.

---

b) Niech M będzie dowolną liczbą dodatnią. Wykażemy, że istnieje takie naturalne k, że wszystkie wyrazy o numerach większych są mniejsze do liczby M.

$c_n<M$  

$\frac{1}{8}-8n<M\mid -\frac{1}{8}$

$-8n<M-\frac{1}{8}\mid :\left(-8\right)$

$n>\frac{1}{64}-\frac{1}{8}M$    

Zatem wystarczy wziąć największą naturalną liczbę k, spełniającą

$k\le \frac{1}{64}-\frac{1}{8}M$  

wtedy każdy wyraz o numerze większym od k jest mniejszy od M.

---

Niech M będzie dowolną liczbą dodatnią. Wykażemy, ze istnieje takie naturalne k, że wszystkie wyrazy o numerach większych są mniejsze do liczby M.

$d_n<M$  

$6-\left(n-3\right)\left(n+3\right)<M$

$6-n^2+9<M$

$15-n^2<M\mid -15$

$-n^2<M-15\mid \cdot \left(-1\right)$  

$n^2>15-M$

$n>\sqrt{15-M}\text{i}M<15$   

Zatem wystarczy wziąć największą naturalną liczbę k, spełniającą

$k\le \sqrt{15-M}$  

wtedy każdy wyraz o numerze większym od k jest mniejszy od M.