a) Tabelka:

Rok	Rata [zł]	Stan zadłużenia [zł]
1	$20000+0,07\cdot 120000=28400$	$120000-20000=100000$
2	$20000+0,07\cdot 100000=27000$	$10000-20000=80000$
3	$20000+0,07\cdot 80000=25600$	$80000-20000=60000$
4	$20000+0,07\cdot 60000=24200$	$60000-20000=40000$
5	$20000+0,07\cdot 40000=22800$	$40000-20000=20000$
6	$20000+0,07\cdot 20000=21400$	$20000-20000=0$

 

Suma odsetek do zapłacenia przez pana Artura wyniesie:

$8400+7000+5600+4200+2800+1400=29400\text{zł}$  

---

b) W k-tym roku spłacania:

$K\left(k\right)=\frac{K}{n}+r\left(K-\frac{K}{n}\cdot \left(k-1\right)\right)=\frac{K}{n}+rK\left(1-\frac{k-1}{n}\right)$  

A więc odsetki w k-tym roku spłacania wynoszą:

$I\left(k\right)=rK\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=rK\left(\frac{n-k+1}{n}\right)$  

$S=I\left(1\right)+I\left(2\right)+I\left(3\right)+...+I\left(n-1\right)+I\left(n\right)=rK\left[\frac{n}{n}+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n}\right]$  

$I\left(1\right)=rK$  

$I\left(n\right)=rK\cdot \frac{1}{n}$  

Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy:

$r=\frac{1}{n}$  

Wzór ciągu:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot \left(-\frac{1}{n}\right)=rK-rK+rK\cdot \frac{1}{n}=rK\cdot \frac{1}{n}$  

Suma:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{rK+rK\cdot \left(\frac{1}{n}\right)}{2}\cdot n=rK\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)\right)2\cdot n=rK\cdot \frac{n+1}{2}$